В 1844 году Ирншоу описал в своём учебнике по механике интересный эффект: шар, помещённый на вращающийся горизонтальный стол, может двигаться по окружностям, оси которых не обязаны совпадать с осью вращения стола. В 1940 году Эйнштейн говорил, что этот факт недостаточно интересен, чтобы тратить на него время. В этой задаче мы постараемся угодить Альберту, решив задачу для более сложных вариантов положения и формы стола.

Часть A. Прав ли Ирншоу? (2.2 балла)

Исследуем движение без проскальзывания шара радиусом $a$ и массой $m$ на горизонтальном вращающемся с угловой скоростью $\vec\Omega$ столе.

Обозначим $\vec r$ радиус-вектор от оси вращения стола до центра шара, идущий параллельно поверхности стола, $\vec a$ – вектор от центра шара до точки касания со столом, $\vec\omega$ – угловая скорость вращения шара, $\vec g$ – ускорение свободного падения, $\vec F$ и $\vec N$ – силы трения и нормальной реакции опоры, действующие на шар, соответственно. Момент инерции шара $I = \beta ma^2$, где $\beta = 2/5$.

A1  ^0.50 Выразите $\ddot{\vec r}$ и $\dot{\vec\omega}$ через $\vec F$, $m$, $\beta$, $\vec a$.

A2  ^0.30 Запишите условие кинематической связи. Выразите ответ через $\dot{\vec r}$, $\vec a$, $\vec r$, $\vec \omega$ и $\vec \Omega$.

A3  ^0.70 Выразите $\ddot{\vec r}$ через $\beta$, $\dot{\vec r}$ и $\vec \Omega$.

A4  ^0.70 Пусть изначально положение и скорость шара были $\vec r_0$ и $\vec v_0$ соответственно. Определите, как $\dot{\vec r}$ зависит от $\vec r$ при дальнейшем движении. Качественно изобразите траекторию движения центра шара в этом случае и укажите характерные размеры и координаты.

Часть B. Наклонный стол (1.7 балла)

Теперь стол наклонён и есть отличная от нуля проекция $\vec g_\parallel$ ускорения свободного падения на него. Остальные обозначения совпадают с частью A.

B1  ^0.30 Выразите $\ddot{\vec r}$ через $\vec g_\parallel$, $\beta$, $\dot{\vec r}$ и $\vec \Omega$.

B2  ^1.40 Обозначим $$\vec{u} = \frac{\left[\vec{\Omega} \times \vec g_\parallel\right]}{\Omega^2}.$$ Качественно изобразите траектории центра шара при следующих начальных скоростях:

1. $\vec{v}_0 = \vec{u}$
2. $\vec{v}_0 = 2.5 \vec{u}$
3. $\vec{v}_0 = 5 \vec{u}$
4. $\vec{v}_0 = 0$

Для случая 4 рассчитайте численно характерные размеры траектории для $g_\parallel=1.0~м/с^2$, $\Omega = 10~рад/с$.

Часть C. Конический стол (6.1 балла)

Теперь стол представляет из себя коническую поверхность с углом раствора $\pi - 2\theta$ (см. рисунок). Исследуем движение шара без проскальзывания на таком столе, вращающемся с угловой скоростью $\vec\Omega$.

Введём единичные векторы в направлении радиус-вектора и угловой скорости конуса: $\vec r = r \vec e _r$ и $\vec\Omega = \Omega \vec e_z$. Дополнительно обозначим угловую скорость поворота радиус-вектора $\vec\zeta = \dot{\varphi} \vec e_z$, где $\varphi$ – угол поворота шара вокруг оси конуса.

C1  ^0.20 Выразите $\ddot{\vec r}$ через $m$, $\beta$, $\vec a$, $\vec r$, $\vec N$, $\vec g$, $\dot{\vec \omega}$

C2  ^0.40 Запишите условие кинематической связи. Выразите ответ через $\dot{\vec r}$, $\vec a$, $\vec r$, $\vec \omega$, $\vec \Omega$.

C3  ^0.90 Выразите $\ddot{\vec r}$ через $m$, $\beta$, $\vec a$, $\vec N$, $\vec g$, $\dot{\vec r}$, $\vec\Omega$, $\vec \zeta$, $\vec \omega$.

При $\theta \ll 1$ и c учётом некоторых других приближений, которые далее будем считать выполненными, уравнение пункта C3 принимает вид:
$$
\ddot{\vec r} = \frac{1}{1+\beta} \left(\vec g + \frac{\vec N}{m}\right) + \frac{\beta[\vec \Omega \times \dot{\vec r}]}{1 + \beta}.
$$
Далее используйте данное выражение.

C4  ^1.00 Докажите, что в рассматриваемом приближении сохраняется величина: $$ l = r^2 \left( \zeta-\cfrac{\Omega\beta}{2\left(1+\beta\right)} \right). $$ Здесь $\zeta = |\vec{\zeta}|$.

C5  ^0.50 Выразите $\ddot{r}$ через $r$, $\zeta$, $\beta$, $\Omega$, $\theta$ и $g$.

C6  ^0.70 Определите, при каких значениях $r$ возможно движение по круговым траекториям вокруг оси симметрии конуса $(r = \text{const})$ и определите значения $\zeta$, соответствующее такому движению. Выразите ответ через $r$, $\beta$, $\Omega$, $\theta$ и $g$.

Теперь исследуем движение по траекториям, отличным от круговых.

С7  ^0.80 Выразите $\dot{r}^2$ с точностью до произвольной постоянной через $l$, $r$, $g$, $\beta$, $\Omega$ и $\theta$. Качественно изобразите вид фазовых диаграмм $\dot{r}(r)$.

C8  ^0.40 Рассмотрим малое возмущение круговой орбиты с радиусом $r_0$. Определите циклическую частоту $\xi$ малых радиальных колебаний. Выразите ответ через $\Omega$, $r_0$, $\theta$, $g$, $\beta$.

C9  ^1.20 Пусть шар изначально движется с $\dot{\varphi}=\zeta_0=0.44~рад/с$, $\dot{r} = 0$, $r_0 = 15~см$ по конусу с $\theta = 1^\circ$ и $\Omega = 10~рад/с$. Изобразите вид траектории и укажите её характерные размеры. Известно, что $g = 9.81 ~м/с^2$.

Примечание: можете считать известным, что отклонение от круговой орбиты в этом случае мало, поэтому зависимость $\ddot{r}(r)$ и $\dot\varphi (r)$ можно приближать линейной функцией вблизи СРЕДНЕГО значения $r$.