|
1
Получено выражение для $\dot{\vec \omega}$: $$ \dot{\vec \omega} = \frac{\left[\vec a \times \vec F\right]}{\beta ma^2}. $$ |
0.20 |
|
|
2
Получено выражение для $\ddot{\vec r}$: $$ \ddot{\vec r} = \frac{\vec F}{m}. $$ |
0.30 |
|
| 3 В уравнении второго закона Ньютона ни разу не упомянуты слагаемые $m \vec g$ и $\vec N$. | -0.10 |
|
|
1
Записано уравнение: $$ \dot{\vec r} + [\vec \omega \times \vec a] = \left[\vec \Omega \times \vec r\right]. $$ |
0.30 |
|
|
1
Уравнение закона изменения момента импульса векторно умножено на $\vec a$ и выражено $\vec F$: $$ \beta m a^2 \left[\dot{\vec \omega} \times \vec a\right] = \left[\left[\vec a \times \vec F\right]\times \vec a\right] = \vec F a^2. $$ |
0.30 |
|
|
2
Получено выражение для $\ddot{\vec r}$: $$ \ddot{\vec r} = \frac{\beta}{1+\beta} \left[\vec\Omega \times \dot{\vec r}\right]. $$ |
0.40 |
|
|
1
Получено выражение: $$\dot{\vec r} = \frac{\beta}{1 + \beta} \left[ \vec \Omega \times \left( \vec r - \vec r_0 \right) \right] + \vec v_0.$$ |
0.20 |
|
|
2
Указано, что данное уравнение задаёт движение по окружности с центром в точке с радиус-вектором $\vec R_0$, где: $$ \vec v_0 = \frac{\beta}{1 + \beta} \left[ \vec \Omega \times \left( \vec r_0 - \vec R_0 \right) \right]. $$ |
0.10 |
|
|
3
Получены выражения для $\vec R_0$ и $\rho$: $$ \vec R_0 = \vec r_0+\frac{1+\beta}{\Omega^2\beta} \left[\vec\Omega,\vec v_0\right],\qquad \rho = \frac{\left(1+\beta\right)v_0}{\Omega\beta}. $$ |
2 × 0.10 |
|
| 4 Сделано качественное изображение. | 0.20 |
|
|
1
Получено выражение для $\ddot{\vec r}$: $$ \ddot{\vec r} = \frac{\vec g_\parallel}{1+\beta}+\frac{\beta}{1+\beta}\left[\vec\Omega,\dot{\vec r}\right]. $$ |
0.30 |
|
Для случая 4 рассчитайте численно характерные размеры траектории для $g_\parallel=1.0~м/с^2$, $\Omega = 10~рад/с$.
|
1
Получено уравнение: $$ 0 = \frac{\vec g_\parallel}{1+\beta}+\frac{\beta}{1+\beta}\left[\vec\Omega,\vec v_д\right]. $$ |
0.20 |
|
|
2
Получено выражения для скорости дрейфа $\vec v_д$: $$ \vec v_д = \frac{\left[\vec \Omega, \vec g_\parallel\right]}{\Omega^2\beta} = \frac{5}{2}\vec u. $$ |
0.20 |
|
|
3
Для четырёх случаев верно нарисованы качественные траектории и показано, что: 1) скорость слабо отличается от скорости дрейфа, поэтому не будет самопересечений; 2) начальная скорость совпадает со скоростью дрейфа, поэтому будет движение по прямой; 3 и 4) отличие от скорости дрейфа равно скорости дрейфа, поэтому будет движение по циклоиде. |
4 × 0.15 |
|
|
4
Определены высота циклоида и её период: $$H = \frac{35g_\parallel}{2\Omega^2} = 17.5~см,\qquad L = \pi H = 55.0 ~ см.$$ |
2 × 0.20 |
|
|
1
Получено выражение для $\ddot{\vec r}$: $$ \ddot{\vec r} = \frac{\vec N}{m} + \vec g - \left[\vec a \times \dot{\vec \omega}\right] \beta. $$ |
0.20 |
|
|
1
Получено уравнение: $$ \dot{\vec r} = \left[\vec \Omega \times \left(\vec r + \vec a\right)\right] - \left[\vec \omega \times \vec a\right]. $$ |
0.40 |
|
|
1
Продифференцировано по времени выражение для $\dot{\vec r}$: $$ \ddot{\vec r} = \left[\vec \Omega \times \dot{\vec r}\right] + \left[\vec \Omega \times \dot{\vec a}\right] - [\dot{\vec \omega} \times \vec a] - [\vec \omega \times \dot{\vec a}]. $$ |
0.20 |
|
|
2
Получено выражение для $\dot{\vec a}$: $$ \dot{\vec a} = \left[\vec \zeta \times \vec a\right]. $$ |
0.20 |
|
|
3
Получено итоговое выражение для $\ddot{\vec r}$: $$ \ddot{\vec r} = \frac{[\vec \Omega \times \dot{\vec r}]}{1 + \beta^{-1}} + \frac{1}{1 + \beta} \left( \frac{\vec N}{m} + \vec g\right) + \frac{\beta}{1+\beta}\left[\left(\vec \Omega - \vec \omega\right) \times \left[\vec \zeta \times \vec a\right]\right]. $$ |
0.50 |
|
|
1
M1
Вектор $\dot{\vec r}$ разложен по базису: $$ \dot{\vec r} = \left[\vec \zeta \times \vec r\right] + \dot r \vec e_r = \zeta r \vec e_\varphi + \dot r \vec e_r. $$ |
0.10 |
|
|
2
M1
Выражение для $\ddot{\vec r}$ разложено по базису: $$ \ddot{\vec r} = \left(\dot \zeta r + 2 \zeta \dot r\right) \vec e_\varphi + \left(\ddot r - \zeta^2 r\right) \vec e_r + \zeta^2 r \theta \vec e_z. $$ |
0.30 |
|
| 3 M1 Потеряна проекция на $\vec e_z$. | -0.10 |
|
|
4
M1
Выражение для $\left[\vec \Omega \times \dot{\vec r}\right]$ разложено по базису: $$ \left[\vec \Omega \times \dot{\vec r}\right] = \Omega \dot r \vec e_\varphi - \Omega \zeta r \vec e_r + \Omega \zeta r \theta \vec e_z. $$ |
0.20 |
|
| 5 M1 Потеряна проекция на $\vec e_z$. | -0.10 |
|
|
6
M1
Выражение для $\vec N / m + \vec g$ разложено по базису: $$ \frac{\vec N}{m} + \vec g = g \theta \vec e_r + \left( \frac{N_z}{m} - g \right) \vec e_z. $$ |
0.10 |
|
| 7 M1 Потеряна проекция на $\vec e_z$. | -0.10 |
|
|
8
M1
Получено выражение: $$ \dot \zeta r + 2 \zeta \dot r = \frac{\Omega \dot r}{1 + \beta^{-1}}. $$ |
0.10 |
|
|
9
M2
Для момента импульса центра масс записано: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\vec r, \dot{\vec r}\right] = \left[\vec r, \ddot{\vec r}\right].$$ |
0.20 |
|
|
10
M2
Проекция момента импульса центра масс на ось $z$: $$\left(\vec e_z,\vec r, \dot{\vec r}\right) = r^2\zeta.$$ |
0.20 |
|
|
11
M2
Получено: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(r^2\zeta\right) = \frac{\beta\Omega}{1+\beta}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{r^2}{2}\right).$$ |
0.40 |
|
| 12 Доказано, что $l = \text{const}$. | 0.20 |
|
|
1
Выражение для $\ddot{\vec r}$ спроецировано на $\vec e_r$: $$ \ddot r - \zeta^2 r = \frac{g \theta}{1 + \beta} - \frac{\beta \Omega \zeta r}{1 + \beta}. $$ |
0.30 |
|
|
2
Получено выражение для $\ddot{r}$: $$ \ddot r = \zeta^2 r + \frac{g \theta}{1 + \beta} - \frac{\beta \Omega \zeta r}{1 + \beta}. $$ |
0.20 |
|
|
1
Получено квадратное уравнение относительно $\zeta$: $$ \zeta^2 - \zeta \cdot \frac{\Omega}{1 + \beta^{-1}} + \frac{g \theta}{(1 + \beta) r} = 0. $$ |
0.20 |
|
|
2
Получено выражение для $\zeta$: $$ \zeta_{1,2} = \frac{\Omega}{2(1 + \beta^{-1})} \pm \sqrt{\left(\frac{\Omega}{2(1 + \beta^{-1})}\right)^2 - \frac{g \theta}{(1 + \beta) r}}. $$ |
0.30 |
|
|
3
Получено ограничение на $r$: $$ r \ge \frac{4 g \theta (1 + \beta)}{\Omega^2 \beta^2}. $$ |
0.20 |
|
|
1
Получено выражение: $$ \ddot r = \frac{\text d ({\dot r}^2)}{2 \text d r}. $$ |
0.20 |
|
|
2
Получено выражение для $\zeta$: $$ \zeta (r) = \frac{\Omega\beta}{2\left(1+\beta\right)} + \frac{l}{r^2}. $$ |
0.10 |
|
|
3
Получено выражение для $\dot r^2$: $$ {\dot r}^2 = 2 \int \left( \frac{g \theta}{1 + \beta} + \frac{l^2}{r^3} - \frac{\Omega^2 r}{4 (1 + \beta^{-1})^2} \right) \text d r. $$ |
0.10 |
|
|
4
Получено итоговое выражение для $\dot r^2$: $$ {\dot r}^2 = \frac{2 g \theta r}{1 + \beta} - \frac{\Omega^2 r^2}{4 (1 + \beta^{-1})^2} - \frac{l^2}{r^2} + \text{const}. $$ |
0.20 |
|
| 5 Верно качественно изображена фазовая диаграмма $\dot r(r)$. | 0.20 |
|
|
1
Указано, что можно представить $r$ в виде суммы решения для круговой орбиты и периодической функции отклонения: $$ r(t) = r_0 + \delta (t). $$ |
0.10 |
|
|
2
Получено приближённое выражение для $\ddot r$: $$ \ddot r \approx - \delta \left(\frac{3 l^2}{r_0^4} + \frac{\Omega^2}{4 (1 + \beta^{-1})^2}\right). $$ |
0.10 |
|
|
3
Получено выражение для $\xi$: $$ \xi = \sqrt{\frac{\Omega^2}{(1 + \beta^{-1})^2} - \frac{3 g \theta}{(1 + \beta) r_0}}. $$ |
0.20 |
|
|
4
Выражение для $\xi$ верно, но не приведено к нужному виду (например, выражено через $l$): $$ \xi = \sqrt{\frac{3 l^2}{r_0^4} + \frac{\Omega^2}{4 (1 + \beta^{-1})^2}}. $$ |
-0.10 |
|
Примечание: можете считать известным, что отклонение от круговой орбиты в этом случае мало, поэтому зависимость $\ddot{r}(r)$ и $\dot\varphi (r)$ можно приближать линейной функцией вблизи СРЕДНЕГО значения $r$.
|
1
Найдено значение $l$: $$l = -0.022243~м^2/с.$$ |
0.10 |
|
|
2
Найдено значение $\ddot{r} (0)$: $$\ddot r(0) = -0.037232~м/с^2.$$ |
0.10 |
|
| 3 Сделан вывод, что $r_0$ - максимальное значение $r$. | 0.10 |
|
|
4
Получено уравнение на амплитуду радиальных колебаний: $$0.037232~м/с^2 = \left(\frac{3 l^2}{\left(r_0-A\right)^4} + \frac{\beta^2\Omega^2}{4 (1 + \beta)^2}\right)A.$$ |
0.20 |
|
|
5
Получено численное решение: $$A = 6.6961~мм.$$ |
0.10 |
|
|
6
Найдено среднее значение $\zeta$: $$\left<\zeta\right> = 0.34545~рад/с.$$ |
0.10 |
|
|
7
Найдена частота радиальных колебаний: $$\xi = 2.3580~с^{-1}.$$ |
0.10 |
|
| 8 Сделан вывод, что за один оборот вокруг оси конуса происходит почти 7 радиальных колебаний. | 0.10 |
|
|
9
Найдено параметрическое уравнение траектории (если верно изображена траектория, то этот пункт ставится автоматически): $$\begin{cases} r = r_0 - A + A\cos\left(\xi t\right), \\~\\ \varphi = \left<\zeta\right>t + \dfrac{\zeta_0-\left<\zeta\right>}{\xi}\sin\left(\xi t\right). \end{cases}$$ |
2 × 0.10 |
|
| 10 Качественно изображена траектория шара. | 0.10 |
|