A1  ^?? Рассчитайте число фотонов $N$, переносимых импульсом. Зная, что флуктуация числа фотонов в волне равна $\sqrt{N}$, получите выражение для соответствующей флуктуации фазы $\varphi$ волны, связанной с $N$ фотонами. Какое заключение можно сделать относительно преобладания корпускулярных или волновых свойств света?

Энергия одного импульса равна энергии одного фотона, умноженной на $N$, так что $$W=Nh\nu=N h c \tilde{\nu}, $$ $$N=\frac{0.3}{6.62 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8} \cdot 14.418 \cdot 10^{2}} \approx 1.05 \cdot 10^{18}.$$ Флуктуации числа фотонов и фазы волны связаны соотношением неопределенности $$\Delta W \Delta t \geqslant h$$. Действительно, неопределенность в $W$ обусловлена неопределенностью в $N$, квант определяется частотой. Таким образом, имеем $$\Delta N h \nu \Delta t \geqslant h$$ Однако неопределенность во времени $\Delta t$ связана с неопределенностью $\Delta \varphi$ в фазе. Находим $$\frac{\varphi}{2 \pi}=\frac{t}{T}=\nu t,$$ следовательно, $$\Delta \varphi=2 \pi \nu \Delta t$$ и $$\Delta N \Delta \varphi \geqslant 2 \pi.$$ Если $\Delta N=\sqrt{N}$, то $\Delta \varphi \geqslant 2 \pi / \sqrt{N}$. Значение $N-$ велико, $\Delta \varphi$ – очень мало. В случае частот, соответствующих относительно длинным (красным) волнам, преобладают волновые свойства. 

B1  ^?? Рассчитайте спектр частот $G(\nu)$ каждого импульса. Получите выражение для спектральной ширины $\Delta \nu$, определяемой как половина интервала между двумя нулевыми значениями функции $G(\nu)$ вокруг центрального максимума. Выведите выражение, связывающее ширину в волновых числах и длину $L$ волнового цуга. 

Численно определите значение $\Delta \tilde{\nu}$ в милликайзерах и $\Delta \lambda$ в миллиангстремах.

Если импульс вводится в интерферометр Майкельсона, то покажите без дополнительных вычислений, какая разность хода необходима для того, чтобы интерференция больше не наблюдалась. Возможно ли это физически?

Импульс описывается выражением $$s(t)=a \cos 2 \pi \nu_{0} t \quad\left(-\frac{\tau}{2} < t < \frac{\tau}{2}\right)$$ В комплексной форме $$s(t)=a \exp \left(-j 2 \pi \nu_{0} t\right)$$ Соответствующий спектр частот имеет вид $$Q(\nu)=a \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left[j 2 \pi\left(\nu-\nu_{0}\right) t\right] \,\mathrm d t=\frac{a}{2 \pi\left(\nu-\nu_{0}\right)}\left[\exp j 2 \pi\left(\nu-\nu_{0}\right) t\right]_{-\tau / 2}^{+\tau / 2}$$ $$G(\nu)=a \tau \frac{\sin 2 \pi\left(\nu-\nu_{0}\right) \tau / 2}{2 \pi\left(\nu-\nu_{0}\right) \tau / 2}$$ Первые два нуля хорошо известной функции $G(\nu)$ появляются при $2\pi\left(\nu-\nu_{0}\right) \tau / 2= \pm\pi$. Полуинтервал между этими значениями соответствует области частот $$\nu-\nu_{0}=\frac{1}{\tau}$$ так что, поскольку $\tilde{\nu}=\nu/c$ и длина $L=c \tau$, получаем $$\Delta \tilde{\nu}=\tilde{\nu}-\tilde{\nu}_{0}=\frac{1}{L}$$ Численно: $$\Delta \tilde{\nu}=\frac{1}{c \tau}=\frac{1}{3 \cdot 10^{8} \cdot 10^{-4}}=0.33 \cdot 10^{-4} ~м^{-1}=33~милликайзер$$ $$\left|\Delta \lambda\right|=\lambda^{2} \Delta \tilde{\nu}=48.10 \cdot 10^{-14} \cdot 3.3 \cdot 10^{-5}=1.59 \cdot 10^{-17}~м=1.59 \cdot 10^{-4}~м\overset{\circ}{\mathrm{A}}$$ $$L=\frac{1}{\Delta \tilde{\nu}}=3 \cdot 10^{4}~м.$$ Интерференция в интерферометре Майкельсона больше не наблюдается, если расстояние между зеркалами порядка $L/2$ или $10~км.$ На этом расстоянии нельзя получить однородные оптические пути.

C1  ^?? Рассчитайте объемную плотность энергии $w$, переносимую импульсом (при подсчете объема, занимаемого волновым цугом, пренебрегите расширением пучка за счет дифракции).

Объем, занимаемый волновым цугом, равен $$v=\frac{\pi d^{2}}{4} L=59 \cdot 10^{-2}~м^{3}$$ Плотность энергии равна $$w=\frac{W}{v}=\frac{0.3}{59 \cdot 10^{-2}}=0.508~Дж/м^{3}.$$

C2  ^?? Получите численное значение электрического поля волны.

Выражение для плотности энергии в электромагнитной теории записывается в виде $$\omega=\boldsymbol{\varepsilon}_{0} E^{2},$$ следовательно, $$E=\sqrt{575 \cdot 10^{8}}=2.4 \cdot 10^{5}~В/м.$$

C3  ^??

Рассчитайте давление, производимое на плоский экран, перпендикулярный пучку, в следующих случаях: 

1. экран полностью поглощает; 
2. экран полностью отражает; 
3. экран имеет коэффициент отражения $R=0.9$ и коэффициент поглощения $A=0.1$.

D1  ^?? Определите радиус $\rho$ центрального дифракционного пятна. Считайте, что это пятно получает $75\%$ энергии, содержащейся в импульсе (учтите коэффициент пропускания линзы).

D2  ^??

Масса полусферы из стали равна $$M=\frac{2}{3} \pi r^{3} \delta$$ где $\delta$ – плотность и $r$ – радиус сферы $$M=\frac{2}{3} \cdot 3.14 \cdot 10^{-6} \cdot 7.83=1.69 \cdot 10^{-6}~г.$$ Количество тепла, необходимое для повышения температуры от комнатной до точки плавления, равно $$M C \Delta t=16.9 \cdot 10^{-6} \cdot 0.11 \cdot 4.18 \cdot(1525-25)=1.14 \cdot 10^{-2}~Дж.$$ За время одного импульса плёнка получит количество энергии, paвное $$0.3 \cdot 0.75 \cdot 0.1=2.25 \cdot 10^{-2}~Дж.$$ Таким образом, в точке попадания излучения фольга будет расплавлена.