Pho.rs: Длинная линия 3.0

A1 ^0.40 Выразите напряжение на резисторе $U_R(t)$, и ток через него $I_R(t)$ через $U_l(x, t)$, $U_r(x, t)$, $I_l(x, t)$, $I_r(x, t)$. Получите выражение, связывающее $U_l(0, t)$ и $U_r(0, t)$. Выражение может содержать $R$, $Z$.

1 Записано $U_R(t)=\mathcal E(t)-(U_l(0,t)+U_r(0,t))$	0.10
2 Записано $I_R(t)=I_l(0,t) + I_r(0,t)$	0.10
3 \[\dfrac{\mathcal E(t)}{2}-U_r(0,t)=\dfrac{R-Z}{R+Z}\left(\dfrac{\mathcal E(t)}{2}-U_l(0,t)\right)\]	0.20

A2 ^1.10 Найдите зависимость напряжения $U_\mathrm{OSC}(t)$ на осциллографе от времени.

1 Записано время движения сигнала по волне $L/v$ в одну сторону	0.20
2 Записана связь напряжений бегущих влево и вправо волн на правом краю длинной линии: $U_l(L,t)=U_r(L,t)$	0.20
3 Записана связь напряжений бегущих влево и вправо волн на левом краю длинной линии (см. A1)	0.20
4 Решено рекуррентное уравнение для напряжения $U_n=U_0\left(1-\left(\dfrac{R-Z}{R+Z}\right)^n\right)$	0.30
5 Ответ $U_\mathrm{OSC}(t)=U_0\left[1-\left(\dfrac{R-Z}{R+Z}\right)^{\left\lfloor\frac{Vt}{2L}+\frac{1}{2}\right\rfloor}\right]$	0.20

A3 ^0.70 Подав с генератора прямоугольный сигнал, снимите зависимость напряжения от времени. Запишите моменты времени $t_n$, когда произошло $n$-тое скачкообразное увеличение напряжения, и значения напряжения $U_n$ сразу после этого.

1 Значения $t_n$	7 × 0.05
2 Значения $U_n$	7 × 0.05

A4 ^2.80 Повторите предыдущий пункт, подсоединяя большее количество участков кабеля (от 2 до 5 включительно).

1 Значения $t_n$ (не больше 7 за каждую серию)	28 × 0.05
2 Значения $U_n$ (не больше 7 за каждую серию)	28 × 0.05

A5 ^1.00 Пренебрегая длиной кабелей, используемых для подключения генератора, линеаризуйте зависимости $u(n,m)$ и $t(n,m)$. Постройте график линеаризованной зависимости $u(n,m)$ и определите сопротивление $R$ выданного резистора, если волновое сопротивление кабеля равно $50~ Ом$. Постройте линеаризованный график зависимости $t(n,m)$ и определите скорость $v$ распространения волн в коаксиальном кабеле. Приведите погрешности результатов.

1 Пересчёт точек (до 5 серий)	5 × 0.08
2 Графики линеаризованных зависимостей времени и напряжения	2 × 0.15
3 Ответы на $v\in[1.8,2.2]\cdot10^8~м/с$ и $R\in [9.0,10.0]~кОм$	2 × 0.10
4 Оценка погрешности	2 × 0.05

B1 ^1.50 Пренебрегая собственной ёмкостью кабелей, используемых для подключения генератора и осциллографа, предложите схему, позволяющую определить ёмкость коаксиального кабеля на единицу длины. Проведите измерения для разного количества участков кабеля и определите его ёмкость на единицу длины. Зная волновое сопротивление кабеля, найдите его индуктивность на единицу длины. Оцените погрешность полученных результатов.

1 Схема измерений	0.15
2 Точки (3 серии по 5 в каждой)	15 × 0.03
3 Линеаризация	0.10
4 Пересчёт точек (до 3 серий)	3 × 0.10
5 График линеаризованной зависимости	0.20
6 Ответы $\mathcal C=[0.9,1.1]\cdot10^{-10}~Ф/м$ и $\mathcal L=[2.2,2.8]\cdot10^{-7}~Гн/м$	2 × 0.10
7 Оценка погрешности	0.10

C1 ^1.00 Подав с генератора прямоугольный сигнал, снимите зависимость напряжения от времени, а именно найдите моменты времени $t_n$, когда произошло $n$-тое скачкообразное увеличение напряжения, и значения напряжения $U_n$ сразу после этого.

1 Значения $t_n$	5 × 0.10
2 Значения $U_n$	5 × 0.10

C2 ^1.50 Найдите скорость $v$ распространения сигнала в витой паре и её волновое сопротивление $Z$. Приведите погрешности полученных результатов.

1 Пересчёт точек	0.40
2 Графики линеаризованных зависимостей времени и напряжения	2 × 0.30
3 Ответы $Z\in[80,120]~Ом$ и $v=[1.7,2.3]\cdot10^8~м/с$	2 × 0.20
4 Оценка погрешностей	2 × 0.05

D1 ^0.20 Запишите связь комплексных амплитуд волны, бегущей вправо, непосредственно до ($\tilde{U}_r(x_0-0)$) и после ($\tilde{U}_r(x_0+0)$) прохождения генератора. Аналогично запишите для волны, бегущей влево.

1 Получены верные связи

2 × 0.10

D2 ^0.40 Запишите связь комплексных амплитуд бегущих влево и вправо волн на левой ($\tilde{U}_{l,r}(0)$) и ($\tilde{U}_{l,r}(L+x_0)$) правой границах двухпроводной линии с их комплексными амплитудами непосредственно до и после прохождения генератора ($\tilde{U}_{l,r}(x_0\pm0)$).

1 Получены верные связи

4 × 0.10

D3 ^0.50 Поскольку линия разомкнута на концах, ток там должен быть равен нулю, а для этого на концах должны быть равны комплексные амплитуды напряжения бегущих волн. Из этого условия получите выражения для $\tilde{U}(0)$ и $\tilde{U}(L+x_0)$, а также для модуля их отношения $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$.

1 Все комплексные амплитуды выражены только через $U$, $k$, $x_0$, $L$.	0.20
2 Получен ответ: $\left\|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right\|=\left\|\dfrac{\cos (k+i\kappa)x_0}{\cos (k+i\kappa)L}\right\|$	0.30

D4 ^0.80 В пределе $\kappa\ll k_0$ запишите условие максимума $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$. Чему при этом должна быть равна частота генератора $f_{\max}$ и соответствующее значение $\left(\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|\right)_{\max}$?

1 Получено выражение: $f_{\max}=\dfrac{v}{L}\left(m+\dfrac{1}{4}\right)$	0.30
2 Получено выражение: $\left\|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right\|_{\max}=\left\|\dfrac{\cos kx_0}{\\\kappa L}\right\|$	0.50

D5 ^0.40 Если частоту $f_{\max}$ немного изменить на $\pm\Delta f/2\ll f_{\max}$, отношение $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$ изменится в $\sqrt{2}$ раз. Получите выражение для $\Delta f$.

1 Получен ответ:
$\Delta f=\dfrac{\kappa v}{\pi}$

0.40

D6 ^0.40 Проведите те же выкладки для минимума $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|_{\min}$.

1 Получен ответ:
$\Delta f=\dfrac{\kappa v}{\pi}$

0.40

D7 ^5.00 Для разного количества участков провода проведите измерения $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$ в зависимости от частоты генератора $f$. Особенно тщательно промеряйте зависимость вблизи экстремумов.

1 Проведены измерения вдали от экстремумов при $f>1~МГц$ (не более 20 точек за серию)	100 × 0.02
2 Проведены измерения вблизи экстремумов (не более 3 точек на 1 экстремум)	30 × 0.10

D8 ^1.50 Рассчитайте $\Delta f(f)$ в экстремумах зависимости $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$. Пересчитайте её в зависимость $\kappa(f)$.

1 Произведен пересчет (не более 10 точек)

10 × 0.15

D9 ^0.80 Зависимость $\kappa(f)$ можно представить степенной функцией:\[\kappa(f)\propto f^{\alpha}.\]Определите $\alpha$.

1 Предложена корректная линеаризация	0.10
2 Оси не подписаны, не оцифрованы, некорректный масштаб	3 × -0.05
3 Нанесение точек на график	10 × 0.03
4 Получен ответ: $\alpha\in[0.4, 0.5]$	0.40

Длинная линия 3.0

Разбалловка