Logo
Logo

Длинная линия 3.0

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Решение

A1  0.40 Выразите напряжение на резисторе $U_R(t)$, и ток через него $I_R(t)$ через $U_l(x, t)$, $U_r(x, t)$, $I_l(x, t)$, $I_r(x, t)$. Получите выражение, связывающее $U_l(0, t)$ и $U_r(0, t)$. Выражение может содержать $R$, $Z$.

Падение напряжения на резисторе равно $U_R(t)=\mathcal E(t)-(U_l(0,t)+U_r(0,t))$, а ток – $I_R(t)=\dfrac{U_R(t)}{R}=I_l(0,t) + I_r(0,t)=\dfrac{1}{Z}\left(U_r(0,t)-U_l(0,t)\right)$. Отсюда получаем:\[\dfrac{\mathcal E(t)}{R}-\dfrac{U_l(0,t)}{R}-\dfrac{U_r(0,t)}{R}=\dfrac{U_r(0,t)}{Z}-\dfrac{U_l(0,t)}{Z}\implies\]

Ответ: \[\dfrac{\mathcal E(t)}{2}-U_r(0,t)=\dfrac{R-Z}{R+Z}\left(\dfrac{\mathcal E(t)}{2}-U_l(0,t)\right)\]

Любые эквивалентные формы ответа валидны, но выписанная выше наиболее удобна для анализа.

A2  1.10 Найдите зависимость напряжения $U_\mathrm{OSC}(t)$ на осциллографе от времени.

Обозначим для удобства $U_n=U_0\left(1-\left(\dfrac{R-Z}{R+Z}\right)^n\right)$. В начальный момент времени $U_l(0,0)=0$, $U_r(0,0)=U_1/2$. Волна, распространяющаяся вправо, за время $L/v$ добегает до осциллографа и отражается от края двухпроводной линии. Ещё через время $L/v$ бегущая влево волна возвращается к резистору, и тогда $U_l(0,2L/v)=U_1/2\implies U_l(0,2L/v)=U_2/2$. Далее процесс переотражения бегущих волн повторяется, и через время $2nL/v$ напряжение $U_l(x=0)$ достигает $U_n/2$, а напряжение $U_r(x=0)=U_{n+1}/2$. Отсюда приходим к итоговому результату:

Ответ: \[U_\mathrm{OSC}(t)=U_0\left[1-\left(\dfrac{R-Z}{R+Z}\right)^{\left\lfloor\frac{Vt}{2L}+\frac{1}{2}\right\rfloor}\right]\]
A3  0.70 Подав с генератора прямоугольный сигнал, снимите зависимость напряжения от времени. Запишите моменты времени $t_n$, когда произошло $n$-тое скачкообразное увеличение напряжения, и значения напряжения $U_n$ сразу после этого.

Ступенчатая лесенка напряжения появляется на масштабах времени порядка $L/c\sim 10^{-8}\ldots10^{-7}~с$, поэтому её видно только на масштабах порядка $\sim100~нс$. Хотя при большем количестве участков кабеля лесенка становится чётче, количество несмазанных «ступенек» всё ещё невелико, поэтому измерения необходимо проводить при большом числе участков кабеля.

Характерный вид лесенки показан на фотографии ниже:

A4  2.80 Повторите предыдущий пункт, подсоединяя большее количество участков кабеля (от 2 до 5 включительно).

$m=1$ участок кабеля:

$n$12345678
$(2n-1)m$13579111315
$t_n, ~нс$4495,2151205258314365424
$\Delta t_n,~нс$1817191818191720
$U,~мВ$-479-470-460-451-442-433-424-415
$\Delta U,~мВ$33333333
$u$-0,479-0,47-0,46-0,451-0,442-0,433-0,424-0,415
$\Delta u$0,0030,0030,0030,0030,0030,0030,0030,003

$m=2$ участка кабеля:

$n$12345678
$(2n-1)m$26101418222630
$t_n, ~нс$28130238338448548656756
$\Delta t_n,~нс$3534363337333633
$U,~мВ$-479-469-459-450-440-431-422-413
$\Delta U,~мВ$33333333
$u$-0,479-0,469-0,459-0,45-0,44-0,431-0,422-0,413
$\Delta u$0,0030,0030,0030,0030,0030,0030,0030,003

$m=3$ участка кабеля:

$n$12345678
$(2n-1)m$39152127333945
$t_n, ~нс$502103645206808349881150
$\Delta t_n,~нс$5253515253515154
$U,~мВ$-489-478-469-459-449-440-430-421
$\Delta U,~мВ$44333333
$u$-0,489-0,478-0,469-0,459-0,449-0,44-0,43-0,421
$\Delta u$0,0040,0040,0030,0030,0030,0030,0030,003

$m=4$ участка кабеля:

$n$12345678
$(2n-1)m$412202836445260
$t_n, ~нс$80284496704906112013201530
$\Delta t_n,~нс$6968716967716770
$U,~мВ$-489-479-468-458-449-439-430-420
$\Delta U,~мВ$33433333
$u$-0,489-0,479-0,468-0,458-0,449-0,439-0,43-0,42
$\Delta u$0,0030,0030,0040,0030,0030,0030,0030,003

$m=5$ участков кабеля:

$n$12345678
$(2n-1)m$515253545556575
$t_n, ~нс$1043606168761120139016601900
$\Delta t_n,~нс$8485858781909080
$U,~мВ$-489-479-469-459-449-439-429-420
$\Delta U,~мВ$33333333
$u$-0,489-0,479-0,469-0,459-0,449-0,439-0,429-0,42
$\Delta u$0,0030,0030,0030,0030,0030,0030,0030,003

A5  1.00 Пренебрегая длиной кабелей, используемых для подключения генератора, линеаризуйте зависимости $u(n,m)$ и $t(n,m)$. Постройте график линеаризованной зависимости $u(n,m)$ и определите сопротивление $R$ выданного резистора, если волновое сопротивление кабеля равно $50~ Ом$. Постройте линеаризованный график зависимости $t(n,m)$ и определите скорость $v$ распространения волн в коаксиальном кабеле. Приведите погрешности результатов.

Для $m$ подключенных участков кабеля будем иметь:\[t(n,m)=(2n-1)mL_0/v,\quad L_0=5~м.\]Линеаризация -- $t((2n-1)m)$ с угловым коэффициентом $L_0/v$. Поскольку напряжение на несмазанной части лесенки много меньше напряжения $U_0$, для него можно в первом приближении записать:\[U_n=U_0\left(1-\left(\dfrac{R-Z}{R+Z}\right)^n\right)\approx\dfrac{2nZ}{R}U_0.\]Поэтому удобная линеаризация – $u(n)$, а её угловой коэффициент равен ${2Z}/{R}$.

Угловой коэффициент зависимости $u(n)$ равен $\dfrac{2Z}{R}=9.6\cdot10^{-3}$, погрешность оценим как $\varepsilon_R\sim 2{\Delta u}/(u_{\max}-u_{\min})\approx 9\,\%$, тогда:

Ответ: \[R=(10.4\pm0.9)~кОм\]

Угловой коэффициент зависимости $t(m(2n-1))$ равен $\dfrac{L_0}{v}=25.4~нс$, погрешность оценим как $\varepsilon_v\sim 2{\Delta t}/(t_{\max}-t_{\min})\approx 9\,\%$, тогда:

Ответ: \[v=(1.97\pm0.18)\cdot10^{8}~м/с\]
B1  1.50 Пренебрегая собственной ёмкостью кабелей, используемых для подключения генератора и осциллографа, предложите схему, позволяющую определить ёмкость коаксиального кабеля на единицу длины. Проведите измерения для разного количества участков кабеля и определите его ёмкость на единицу длины. Зная волновое сопротивление кабеля, найдите его индуктивность на единицу длины. Оцените погрешность полученных результатов.

C1  1.00 Подав с генератора прямоугольный сигнал, снимите зависимость напряжения от времени, а именно найдите моменты времени $t_n$, когда произошло $n$-тое скачкообразное увеличение напряжения, и значения напряжения $U_n$ сразу после этого.

C2  1.50 Найдите скорость $v$ распространения сигнала в витой паре и её волновое сопротивление $Z$. Приведите погрешности полученных результатов.

D1  0.20 Запишите связь комплексных амплитуд волны, бегущей вправо, непосредственно до ($\tilde{U}_r(x_0-0)$) и после ($\tilde{U}_r(x_0+0)$) прохождения генератора. Аналогично запишите для волны, бегущей влево.

D2  0.40 Запишите связь комплексных амплитуд бегущих влево и вправо волн на левой ($\tilde{U}_{l,r}(0)$) и ($\tilde{U}_{l,r}(L+x_0)$) правой границах двухпроводной линии с их комплексными амплитудами непосредственно до и после прохождения генератора ($\tilde{U}_{l,r}(x_0\pm0)$).

D3  0.50 Поскольку линия разомкнута на концах, ток там должен быть равен нулю, а для этого на концах должны быть равны комплексные амплитуды напряжения бегущих волн. Из этого условия получите выражения для $\tilde{U}(0)$ и $\tilde{U}(L+x_0)$, а также для модуля их отношения $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$.

D4  0.80 В пределе $\kappa\ll k_0$ запишите условие максимума $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$. Чему при этом должна быть равна частота генератора $f_{\max}$ и соответствующее значение $\left(\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|\right)_{\max}$?

D5  0.40 Если частоту $f_{\max}$ немного изменить на $\pm\Delta f/2\ll f_{\max}$, отношение $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$ изменится в $\sqrt{2}$ раз. Получите выражение для $\Delta f$.

D6  0.40 Проведите те же выкладки для минимума $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|_{\min}$.

D7  5.00 Для разного количества участков провода проведите измерения $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$ в зависимости от частоты генератора $f$. Особенно тщательно промеряйте зависимость вблизи экстремумов.

$m=1$ участок кабеля:

$f, кГц$2040314041405040604072408240854088409040
$|\tilde U(0)|,~ мВ$95084074012801046720414332250190
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$10009709601960196019601960196019601960
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$9140924093409440954096409840101401044011740
$|\tilde U(0)|,~ мВ$158145130120114124165260366832
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$1980196019601960198019801980200020202080
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$12940146401744018240192402024021140255402694027840
$|\tilde U(0)|,~ мВ$13001900246024502380227021201250900640
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$2140220020301940182016901590138014801600
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$2814028540290402934029240     
$|\tilde U(0)|,~ мВ$566440566780694     
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$16601760194020602020     
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           

$m=2$ участка кабеля

$f, кГц$5540594070407440774078407940804082408450
$|\tilde U(0)|,~ мВ$1220123012801350146014801520155016801900
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$1080990810760660580544496404480
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$8500855085908710920093009400950097009900
$|\tilde U(0)|,~ мВ$19402000204021201030820660504468500
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$5606487601210198019001820172016201520
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$10000103001500018000200002150022100236002380023900
$|\tilde U(0)|,~ мВ$51661613802120206018601820181018201840
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$148014301480180014001020832456396368
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$24000240502410024350245002460024710249502501025200
$|\tilde U(0)|,~ мВ$18801880190019802050209020802180368504
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$34432831226024024025033622202340
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           

$m=3$ участка кабеля

$f, кГц$2600290038003900400040504100415043604400
$|\tilde U(0)|,~ мВ$1640162016601680168016901720174018401840
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$1130970512448400360334308224222
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$44804650467046905000940094109640981013000
$|\tilde U(0)|,~ мВ$1880194019601960212011611212416002300
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$2283043163327001920192019001900850
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$13620138801391022370228202285022920285802901029130
$|\tilde U(0)|,~ мВ$1760166016401920208021002120232330390
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$280356368272420436480152016001620
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$          
$|\tilde U(0)|,~ мВ$          
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$          
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           

$m=4$ участка кабеля

$f, кГц$240030203060310031403170286083001520015450
$|\tilde U(0)|,~ мВ$176019201950196019601960188063218801760
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$6601601701962242502241440416288
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$1576015190        
$|\tilde U(0)|,~ мВ$16201880        
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$380420        
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$          
$|\tilde U(0)|,~ мВ$          
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$          
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$288402945028470       
$|\tilde U(0)|,~ мВ$244336356       
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$148014001560       
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           

$m=4$ участка кабеля

$f, кГц$16400164501676016150      
$|\tilde U(0)|,~ мВ$1680167015601800      
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$344340452492      
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$          
$|\tilde U(0)|,~ мВ$          
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$          
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$          
$|\tilde U(0)|,~ мВ$          
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$          
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           
$f, кГц$          
$|\tilde U(0)|,~ мВ$          
$|\tilde U(L+x_0)|,~ мВ$          
$\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$           

D8  1.50 Рассчитайте $\Delta f(f)$ в экстремумах зависимости $\left|\tilde{U}(0)\big/\tilde{U}(L+x_0)\right|$. Пересчитайте её в зависимость $\kappa(f)$.

D9  0.80 Зависимость $\kappa(f)$ можно представить степенной функцией:\[\kappa(f)\propto f^{\alpha}.\]Определите $\alpha$.