| При оценке решения выбирается только один метод, баллы за формулы из другого метода не ставятся. | ||
|
2
M1
Построены векторные треугольники скоростей для каждого из камней с общим началом. Отмечены $v$, $gt$, равные углы $\alpha$ и прямой угол между начальными направлениями скоростей. Баллы ставятся только в том случае, если этот рисунок в дальнейшем решении используется для записи теоремы синусов и/или косинусов. |
2.00 |
|
|
3
M1
Записана теорема синусов для $\triangle AOB$ $$ \frac{v}{\sin\alpha}=\frac{gt}{\sin\angle AOB} $$ |
1.00 |
|
|
4
M1
Записана теорема синусов для $\triangle MON$ $$ \frac{v}{\sin\alpha}=\frac{gt}{\sin\angle MON}. $$ |
1.00 |
|
| 5 M1 Использован факт из условия, что камни брошены по условию под разными углами, для выбора решения уравнения $\sin\angle AOB=\sin\angle MON$ следует $\angle AOB + \angle MON=180^{\circ}$ | 1.00 |
|
|
6
M2
Записано уравнение движения для камня в момент перед падением $$ h+v\sin{\gamma}t_1-\frac{gt_1^2}2=0 $$ |
1.00 |
|
| M2 Записаны уравнения движения каменей для проекций скоростей: | ||
|
8
M2
$$ v_{1x}=v\cos\gamma $$$$ v_{1y}=v\sin\gamma-gt_1 $$ |
0.80 |
|
|
9
M2
$$ v_{2x}=v\cos\beta $$$$ v_{2y}=v\sin\beta-gt_1 $$ |
0.80 |
|
|
10
M2
Использовано условие перпендикулярности начальных скоростей $$\beta+\gamma=\pi/2$$ |
1.00 |
|
| M2 Использовано, что в момент перед падением, векторы скоростей камней направлены под одинаковыми углами к горизонту: | ||
|
12
M2
$$ \tan\phi=\frac{v_{1y}}{v_{1x}} $$ |
0.70 |
|
|
13
M2
$$ \tan\phi=\frac{v_{2y}}{v_{2x}}. $$ |
0.70 |
|
| 14 Получен ответ $45^{\circ}$ | 2.00 |
|
| 15 M1 Выражен отрезок $|\overrightarrow{ON}|=v_1=\sqrt{v^2+2gh}$. | 0.30 |
|
|
16
M1
Записана теорема косинусов для $\triangle MON$ $$ v^2+2gh+(gt)^2-2\sqrt{v^2+2gh}\cdot gt\cdot\cos 45^{\circ}=v^2. $$ |
0.70 |
|
|
17
M2
Получено выражение для $$ \sin\gamma=\sqrt{\frac12-\frac{gh}{v^2}}, $$или $$ \cos\gamma=\sqrt{\frac12+\frac{gh}{v^2}}. $$ |
1.00 |
|
|
18
Получено выражение для $$ t_1=\frac vg\cdot\left(\sqrt{\frac12-\frac{gh}{v^2}}+\sqrt{\frac12+\frac{gh}{v^2}}\right). $$ |
1.00 |
|
|
19
Относительная скорость $$ v_{отн}=\sqrt{2} v, $$или для момента времени $t_1$: $$ \Delta x=(v\cos\gamma+v\cos\beta)t_1 $$ $$ \Delta y=h+v\sin\beta t_1-\frac{gt_1^2}{2} \text{ или } \Delta y=(v\sin\beta-v\sin\gamma)t_1. $$ |
0.80 |
|
|
20
Расстояние между камнями в момент перед падением $$ l=v_{\rm отн}t_1, $$или $$ l=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}. $$ |
0.20 |
|
|
21
Получен ответ $$ l=\frac{v}{g}\cdot\left(\sqrt{v^2+2gh} + \sqrt{v^2-2gh}\right), $$или $$ l=\frac{v}{g}\cdot\sqrt{2\left(v^2+\sqrt{v^4-4g^2h^2}\right)}. $$ |
2.00 |
|