Графический метод решения
Построим векторные треугольники скоростей для каждого из камней с общим началом в точке $O$. Вершины треугольников для удобства подпишем буквами. На рисунке $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OM}$ – векторы начальных скоростей, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{ON}$ – векторы скоростей перед падением на землю одного из камней.
По теореме синусов из $\triangle AOB$ и $\triangle MON$ находим
$$
\frac{v}{\sin\alpha}=\frac{gt}{\sin\angle AOB}=\frac{gt}{\sin\angle MON}.
$$
Поскольку камни брошены по условию под разными углами, то из равенства $\sin\angle AOB=\sin\angle MON$ следует $\angle AOB + \angle MON=180^{\circ}$. Тогда $\angle BON=90^{\circ}$, а камни движутся под одинаковыми углами к вертикали $\alpha =\angle BON/2 =45^{\circ}$.
Искомый угол с горизонтом составляет $\varphi=90^{\circ}-\alpha$.
Из закона сохранения энергии: $|\overrightarrow{ON}|=v_1=\sqrt{v^2+2gh}$.
Для нахождения расстояния между камнями в этот момент определим время движения. По теореме косинусов для $\triangle MON$
$$
v^2+2gh+(gt)^2-2\sqrt{v^2+2gh}\cdot gt\cdot\cos 45^{\circ}=v^2.
$$
Решая полученное квадратное уравнение, находим два корня
$$
t=\frac{\sqrt{v^2+2gh}\pm\sqrt{v^2-2gh}}{\sqrt{2}g}.
$$
Учитывая условие, что первоначально оба камня удаляются от земли, необходимо выбрать знак $«+»$ . Умножая полученное время на относительную скорость камней $v_{\rm отн}=\sqrt{2} v$, получаем выражение для расстояния между камнями в этот момент времени
Аналитический метод решения
Пусть первым упадет камень брошенный под углом $\gamma$. В момент перед падением этого камня на землю
$$
y=h+v\sin{\gamma}t_1-\frac{gt_1^2}2=0
$$откуда получаем время движения
$$
t_1=\frac{v\sin\gamma}g\cdot\left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v^2\sin^2\gamma}}\right).
$$
Из уравнений движения каменей определим проекции скоростей
$$
v_{1x}=v\cos\gamma, v_{1y}=v\sin\gamma-gt
$$ $$
v_{2x}=v\cos\beta, v_{2y}=v\sin\beta-gt.
$$
В момент, когда векторы скоростей камней направлены под одинаковыми углами к горизонту
$$
\operatorname{tg}\varphi=\frac{v_{1y}}{v_{1x}}=\frac{v_{2y}}{v_{2x}}.
$$
Из получившегося соотношения следуют два уравнения
$$
\operatorname{tg}\varphi=\frac{v\sin\gamma-gt_1}{{v\cos\gamma}}
$$ $$
\frac{v\sin\gamma-gt_1}{{v\cos\gamma}}=\frac{v\sin\beta-gt_1}{{v\cos\beta}}.
$$
Преобразуем уравнения, используя выражение для $t_1$
$$
\operatorname{tg}\varphi=-\frac{\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}}{v\cos\gamma}
$$ $$
-\frac{\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}}{v\cos\gamma}=\frac{v\sin\beta-v\sin\gamma-\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}}{{v\cos\beta}}.
$$
Выразив $\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}$ из второго уравнения и подставив в первое получим
$$
\operatorname{tg}\varphi=-1.
$$
Искомый угол с горизонтом составляет $\varphi=45^{\circ}$.
Используя $\tan\varphi=-1$, из $\tan\varphi=-\frac{\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}}{v\cos\gamma}$ найдем
$$
\sin\gamma=\sqrt{\frac12-\frac{gh}{v^2}}
$$$$
\cos\gamma=\sqrt{\frac12+\frac{gh}{v^2}}.
$$
Тогда время $t_1$
$$
t_1=\frac vg\left(\sqrt{\frac12+\frac{gh}{v^2}}+\sqrt{\frac12-\frac{gh}{v^2}}\right).
$$
Умножая полученное время на относительную скорость камней $v_{\rm отн}=\sqrt{2} v$, получаем выражение для расстояния между камнями в этот момент времени