1  ^?? Чему была равна температура газа $T_2$ в точке $2$?

Первый метод

В процессах $2-3$ и $4-1$ подведенное к газу количество теплоты равно нулю, поэтому эти процессы – адиабатические, их уравнение в координатах $(T, V)$ имеет вид
$$
T V^{1/3} = \mathrm{const}.
$$ Получим уравнение процессов $1-2$ и $3-4$. Пусть $\Delta T$, $\Delta V$ – бесконечно малые изменения температуры и объема, тогда изменение внутренней энергии
$$
\Delta U = 3 \nu R \Delta T,
$$а работа газа $\delta A = p \Delta V $, поэтому для процесса выполняется соотношение
$$
3 \nu R \Delta T= \frac{\nu R T}{V}\Delta V.
$$Сократив общие множители и разделяя переменные получим
$$
3 \frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta V}{V},
$$откуда после интегрирования найдем уравнение процесса
$$
T V^{-1/3} = \mathrm{const}.
$$Используя уравнение адиабаты для процесса $4-1$, найдем объем газа в точке $1$:
$$
T_1 V_1^{1/3} = T_4 V_4^{1/3},
$$откуда с учетом значения температур $T_1 = 2 T_4 = 2T_0$ получим $V_1 = V_0/8$. Аналогично с помощью уравнения процесса $3-4$
$$
T_3 V_3^{-1/3} = T_4 V_4^{-1/3},
$$получим $V_3 = 8 V_0$.
Запишем также уравнения для процессов $1-2$ и $2-3$:
$$
T_1 V_1^{-1/3} = T_2 V_2^{-1/3}, \quad T_3 V_3^{1/3} =T_2 V_2^{1/3}.
$$Разделив второе уравнение на первое и учтем равенство $T_1 = T_3$:
$$
V_2^{2/3} = V_3^{1/3} V_1^{1/3} = V_0^{2/3},
$$а значит $V_2 = V_0$. Тогда температура $T_2 = T_1 V_1^{-1/3} V_2^{1/3} = 4 T_0$.

Второй метод

Будем решать в терминах $TS$. В процессах $2-3$ и $4-1$ подведенное к газу количество теплоты равно нулю, поэтому эти процессы – адиабатические, в них сохраняется энтропия, поэтому $$S_2=S_3 ~ и ~S_1=S_4.$$Найдём изменение энтропии в процессах $1-2$ и $3-4$:
$$dS=\frac{\delta Q}{T}=\frac{2dU}{T}=2\nu C_V\frac{dT}{T}.$$$$S_2-S_1=2\nu C_V\ln\frac{T_2}{T_1}=2\nu C_V\ln\frac{T_3}{T_4}=S_3-S_4.$$Получаем соотношение на температуры:
$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}.$$$$T_2=\frac{T_1T_3}{T_4}$$

2  ^?? Восстановите график цикла в координатах $\log_2
\displaystyle\frac{p}{p_0}$ от $\log_2
\displaystyle\frac{V}{V_0}$.

Уравнение адиабаты в координатах $(p, V)$ имеет вид $pV^{4/3} = \mathrm{const}$, а значит в логарифмических координатах график процесса – прямая
$$
\log_2 \frac{p}{p_0} + \frac{4}{3} \log_2 \frac{V}{V_0} = \mathrm{const}.
$$ Аналогично уравнения процессов $1-2$ и $3-4$ в координатах $(p, V)$ получается из найденного в предыдущем пункте с помощью уравнения состояния $pV/T = \mathrm{const}$, $p V^{2/3} = \mathrm{const}$, в логарифмических координатах также получим прямые
$$
\log_2 \frac{p}{p_0} + \frac{2}{3} \log_2 \frac{V}{V_0} = \mathrm{const}.
$$Таким образом достаточно вычислить координаты точек $1, 2, 3, 4$. Объемы уже найдены в предыдущем пункте. С помощью уравнения состояния получим
$p_1 = 16 p_0$, $p_2 = 4 p_0$, $p_3 = p_0/4$.

Тогда координаты граничных точек процессов в координатах
$\log_2 \frac{V}{V_0}$ (абсцисса) и $\log_2 \frac{p}{p_0}$ (ордината) равны: $1~(-3,~4)$, $2~(0,~2)$, $3~(3,~-2)$, $4~(0,~0)$. График процесса имеет вид параллелограмма.

3  ^?? Определите КПД цикла.

Первый метод

На адиабатах теплота не отводится и не подводится. Для оставшихся двух процессов подведенное тепло $Q = \Delta U + A$, причем поскольку $A = \Delta U,$ выполняется
$Q = 2 \Delta U = 2 C_V \Delta T$, где $C_V$ – теплоемкость газа при постоянном объеме. Тогда на участке $1-2$ подводится тепло $Q_+ = 2 C_V (T_2 - T_1) = 4 C_V T_0$, а на участке $3-4$ отводится тепло $Q_- = 2 C_V (T_3 - T_4) = 2 C_V T_0$, поэтому КПД
$$
\eta = \frac{Q_+ - Q_-}{Q_+} = \frac{1}{2}.
$$

Второй метод

Найдём зависимость $T(S)$ для процессов $1-2$ и $3-4$.
$$T_{3-4}(S) = T_4 \exp \left(\frac{S-S_4}{2\nu C_V}\right),$$$$T_{1-2}(S) = T_1 \exp \left(\frac{S-S_1}{2\nu C_V}\right)=2T_{3-4}(S) .$$
Подставим в выражение для КПД:
$$\eta = \frac{\int\limits_{S_1}^{S_2}T_{1-2}dS-\int\limits_{S_4}^{S_3}T_{3-4}dS}{\int\limits_{S_1}^{S_2}T_{1-2}dS}=\frac{2\int\limits_{S_4}^{S_3}T_{3-4}dS-\int\limits_{S_4}^{S_3}T_{3-4}dS}{2\int\limits_{S_4}^{S_3}T_{3-4}dS}=\frac{1}{2}.$$