Покажем ниже, что при напряжениях источника меньших $U_1$, капелька не растекается и конденсатор Глюка представляет собой обычный плоский конденсатор ёмкостью $C_1$. Заметим, что вклад капельки в ёмкость отсутствует из-за того, что она по условию маленькая.
При напряжениях источника больших, чем $U_1$ конденсатор Глюка представляет собой два параллельно соединённых конденсатора ёмкостями $C_1$ и $C_2$. Конденсатор $C_2$ имеет в качестве одной обкладки нижнюю плоскость, а его вторая обкладка – это растёкшаяся капелька проводящей жидкости. Обозначим площадь растёкшейся капельки $S$, тогда:
$$C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{h}.$$
Проанализируем, чему может быть равна площадь растёкшейся капельки в зависимости от постоянного напряжения источника $U$, используя энергетический подход, и докажем сделанные выше утверждения. Напряжение источника можно считать постоянным, так как по условию оно изменяется плавно. Рассмотрим систему, состоящую из источника, конденсаторов и растёкшейся капельки. Найдём, как энергия системы зависит от площади растёкшейся капельки:
$$W = W_{ист} + W_{конд} + W_{пов} = -qU+\frac{q^2}{2C_0}+2\sigma S,$$
где $q$ – заряд, протёкший через источник, $C_0$ – общая ёмкость системы трёх конденсаторов, $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения.
Здесь энергия $W_{ист} = -q U = - C_0 U^2$, так как при зарядке конденсаторов через источник протекает заряд $q = C_0 U$ и запасённая в источнике энергия уменьшается.
Общая ёмкость системы трёх конденсаторов, когда опорный $C$ соединён последовательно с конденсатором Глюка (который представляет собой параллельное соединение $C_1$ и $C_2$):
$$C_0 = \frac{C(C_1+C_2)}{C+C_1+C_2}.$$
Для удобства будем выражать энергию поверхностного натяжения не через площадь, а через емкость $C_2$:
$$W_{пов} = 2 \sigma S = \frac{2\sigma h}{\varepsilon \varepsilon_0} C_2.$$
Тогда, зависимость энергии системы от ёмкости $C_2$ (по сути, от площади растёкшейся капли), описывается выражением:
$$ W(C_2) = - \frac{C(C_1+C_2) U^2}{2(C+C_1+C_2)} + \frac{2\sigma h}{\varepsilon \varepsilon_0} C_2.$$
В равновесии значение $C_2$ будет таким, чтобы энергия системы была минимальна. Найдём, при каком значение $C_2$ будет минимум, используя производную и приравнивая её нулю
$$W' = - \frac{C^2 U^2}{2(C+C_1+C_2)^2} + \frac{2\sigma h}{\varepsilon \varepsilon_0} =0.$$
Отсюда находим, что в случае расплюснутой капли, ёмкость образованного ею конденсатора $C_2$ зависит от напряжения источника $U$ как
$$C_2 = C U \sqrt{\frac{\varepsilon \varepsilon_0}{ 4 \sigma h} } - C - C_1.$$
Так как вторая производная всегда положительна, найденная точка действительно минимум:
$$W'' = \frac{C^2 U^2}{(C+C_1+C_2)^3} > 0.$$
Заметим, что значение $C_2$ (и площади $S$) больше либо равно нуля при
$$U \geqslant 2 \frac{C + C_1}{C} \sqrt{ \frac{ \sigma h} {\varepsilon \varepsilon_0} } = U_1.$$
Поведение системы устроено следующим образом. При напряжениях источника от $0$ до $U_1$ минимум энергии системы соответствует нулевой площади растёкшейся капельки, а конденсатор Глюка имеет постоянную ёмкость $C_1$. При напряжениях источника $U>U_1$, растёкшаяся капелька имеет площадь такую, что ёмкость $C_2$ можно вычислить по указанной выше формуле. Напряжение на конденсаторе Глюка постоянно:
$$U_{Глюк} = \frac{C_0U}{C_1+C_2} = \frac{C U}{C+C_1+C_2} = \sqrt{ \frac{ 4 \sigma h}{\varepsilon \varepsilon_0} } = \frac{2}{3}U_1 = \mathrm{const}.$$
Напряжение на опорном конденсаторе при напряжении на источнике $U=2U_1$ равно
Для определения коэффициента поверхностного натяжения воспользуемся найденным выше напряжением
$$U_{\rm Глюк}=2\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}}=\frac{2}{3}U_1.$$
Отсюда
Очень похоже на то, что Глюк использовал ртуть!