Logo
Logo

Квадрат vs круг

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

0.0
Сумма баллов
1  ?? Чему равно отношение $E'/E_0$, где $E'$ — модуль напряжённости электрического поля, созданного в точке $O'$ второй заряженной фигурой, имеющей форму квадрата со стороной $2\lambda a$, от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной $\lambda a$ (рис. 2)? $\lambda$ — некоторое положительное число.

1 Предложено разбить первую и вторую фигуру на геометрически подобные малые (элементарные) участки.
 0.40
2 Определен вклад в общую напряженность от малого элементарного участка через поверхностную плотность заряда поверхности, площадь этого малого участка и расстояния от него до выбранной точки. 0.40
3 Для малых участков использована формула $\Delta S_2=\lambda^2\Delta S_1$ или аналогичная ей. 0.40
4 Показано, что геометрически подобные малые участки создают одинаковую напряженность электрического поля. 0.40
5 Обосновано получено, что $E'/E_0=1$.

Примечание 1: Если в решении присутствуют только общие формулы для $E'$ и/или $E_0$ (например, в виде интеграла), но нет явно прописанного корректного алгоритма нахождения $E'/E_0$, за этот пункт ставится 0 баллов.

Примечание 2: При рассмотрении полного квадрата методом подобия за этот пункт ставится 0 баллов.

 0.40
2  ?? Определите модуль и направление вектора напряжённости $\vec{E}_A$ электрического поля, созданного в точке $A$ третьей заряженной фигурой, представляющей собой квадрат со стороной $8a$, от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной $a$ (рис. 3). Модуль вектора $\vec{E}_A$ выразите через величину $E_0$.

1 Дано корректное обоснование для верного направления вектора $\vec{E}_A$ (симметрия фигур; разбиение фигуры на симметричные). 0.10
2

Указано верное направление вектора $\vec{E}_A$: 

  • определено выделенное направление и определена величина угла между вектором $\vec{E}_A$ и выделенным направлением; 

либо

  • проведена ось симметрии фигуры и вектор $\vec{E}_A$ направлен вдоль этой оси.
 0.40
3 M1 Предложен корректный и реализуемый способ определения модуля $\vec{E}_A$, т.е. предложено разбиение третьей фигуры на три части, геометрически подобные первой фигуре, для которых известны из решения первого пункта создаваемые ими напряженности электрического поля в точке $A$. 1.50
4 M1 Предложенный метод содержит некритические недостатки, например, арифметическая ошибка, не приводящая к неверному ответу. 1.00
5 M1 Предложенный метод содержит критические недостатки или метод отсутствует. 0.00
6 M1 Обосновано получено, что $E_A=3E_0$.

Примечание: Если в решении отсутствует описание способа нахождения $E_A/E_0$ и/или этот способ некорректный, за данный пункт ставится 0 баллов.

 1.00
7 M2

Предложен корректный и реализуемый способ определения напряженности третьей фигуры путём интегрирования, позволяющий получить явное выражение для коэффициента, связывающего $E_A$ и поверхностную плотность заряда третьей фигуры $\sigma$. Для этого записан один или сумма нескольких интегралов, для которых одновременно верным образом: 

  • определено разбиение фигуры; 
  • записаны пределы интегрирования; 
  • записано подынтегральное выражение; 
  • определены величины, по которым ведётся интегрирование;
  • подынтегральное выражение должно содержать в качестве переменных только величины, по которым ведётся интегрирование.
 0.50
8 M2 Обоснованно получено, что $E_A=\sqrt{2} \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \ln{8}$. 0.50
9 M2

Предложен корректный и реализуемый способ определения напряженности первой фигуры путём интегрирования, позволяющий получить явное выражение для коэффициента, связывающего $E_0$ и поверхностную плотность заряда первой фигуры $\sigma$. Для этого записан один или сумма нескольких интегралов, для которых одновременно верным образом: 

  • определено разбиение фигуры; 
  • записаны пределы интегрирования; 
  • записано подынтегральное выражение; 
  • определены величины, по которым ведётся интегрирование;
  • подынтегральное выражение должно содержать в качестве переменных только величины, по которым ведётся интегрирование.
 0.50
10 M2 Обоснованно получено, что $E_0=\sqrt{2} \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \ln{2}$. 0.50
11 M2 Обосновано получено, что $E_A=3E_0$.

Примечание: Если в решении отсутствует описание способа нахождения $E_A/E_0$ и/или этот способ некорректный, за данный пункт ставится 0 баллов.

 0.50
3  ?? Определите модуль и направление вектора напряжённости $\vec{E}_B$ электрического поля, созданного в точке $B$ четвёртой заряженной фигурой, имеющей форму четверти кольца (рис. 4), внутренний радиус которого равен $a$, а внешний — $2a$. Модуль вектора $\vec{E}_B$ выразите через $E_0$.

1 Дано корректное обоснование для верного направления вектора $\vec{E}_B$ (например, симметрия фигур, разбиение фигуры на симметричные). 0.10
2

Указано верное направление вектора $\vec{E}_B$: 

  • определено выделенное направление и определена величина угла между вектором $\vec{E}_B$ и выделенным направлением;

либо

  • проведена ось симметрии (биссектриса угла $\angle B$) четвёртой фигуры и вектор $\vec{E}_B$ направлен вдоль этой оси. В тексте или на рисунке явно указано, что проведённая линия - это ось симметрии (биссектриса).
 0.40
3 M1

Предложен корректный и реализуемый способ определения модуля $\vec{E}_B$:

  • предложена комбинация первой фигуры и двух геометрически подобных друг другу фигур с противоположными поверхностными плотностями зарядов, позволяющая получить поле четвертой фигуры в точке $B$;

или

  • четвёртая фигура разделена на дуги малой толщины; показано равенство вкладов в общую напряженность поля в точке $B$ от дуги и отрезка, обладающих одинаковой линейной плотностью заряда, видимых из точки наблюдения под одинаковым углом; показано, что одинаковая линейная плотность заряда на дуге и отрезке c одинаковой поверхностной плотностью заряда, достигается при их одинаковых толщинах; показано, что такое разделение позволяет преобразовать четвертую фигуру в первую фигуру.
 2.00
4 M1 Предложенный метод содержит некритические недостатки, например, нет указания ни на одинаковую линейную плотность заряда, ни на одинаковую толщину. 1.50
5 M1 Метод некорректный или отсутствует. 0.00
6 M1 Обосновано получено, что $E_B=E_0$.

Примечание: Если в решении отсутствует описание способа нахождения $E_B/E_0$ и/или этот способ некорректный, за данный пункт ставится 0 баллов.

 0.50
7 M2

Предложен корректный и реализуемый способ определения напряженности четвертой фигуры путём интегрирования, позволяющий получить явное выражение для коэффициента, связывающего $E_B$ и поверхностную плотность заряда четвертой фигуры $\sigma$. Для этого записан один или сумма нескольких интегралов, для которых одновременно верным образом: 

  • определено разбиение фигуры; 
  • записаны пределы интегрирования; 
  • записано подынтегральное выражение; 
  • определены величины, по которым ведётся интегрирование;
  • подынтегральное выражение должно содержать в качестве переменных только величины, по которым ведётся интегрирование.
 0.50
8 M2 Обоснованно получено, что $E_B=\sqrt{2} \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \ln{2}$. 0.50
9 M2

Предложен корректный и реализуемый способ определения напряженности первой фигуры путём интегрирования, позволяющий получить явное выражение для коэффициента, связывающего $E_0$ и поверхностную плотность заряда первой фигуры $\sigma$. Для этого записан один или сумма нескольких интегралов, для которых одновременно верным образом: 

  • определено разбиение фигуры; 
  • записаны пределы интегрирования; 
  • записано подынтегральное выражение; 
  • определены величины, по которым ведётся интегрирование;
  • подынтегральное выражение должно содержать в качестве переменных только величины, по которым ведётся интегрирование.
 0.50
10 M2 Обоснованно получено, что $E_0=\sqrt{2} \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \ln{2}$. 0.50
11 M2 Обосновано получено, что $E_B=E_0$.

Примечание: Если в решении отсутствует описание способа нахождения модуля вектора $\vec{E_B}$ и/или этот способ некорректный, за данный пункт ставится 0 баллов.

 0.50
4  ?? Определите модуль и направление вектора напряжённости $\vec{E}_C$ электрического поля, созданного в точке $C$ пятой заряженной фигурой, имеющей форму трапеции (рис. 5), одно основание которой равно $a$, второе — $2a$. Модуль вектора $\vec{E}_C$ выразите через $E_0$. Углы при большем основании данной трапеции указаны на рисунке.

1 Предложен корректный и реализуемый способ определения направления $\vec{E}_C$.

Примечание: Если в решении присутствуют только общие формулы, но нет явного прописанного алгоритма, за этот пункт ставится 0 баллов.

 0.50
2 Обосновано, что вектор $\vec{E}_C$ направлен вдоль внешней биссектрисы угла $\angle C$.

 

 0.50
3

Указано верное направление вектора $\vec{E}_C$: 

  • определено выделенное направление и определена величина угла между вектором $\vec{E}_C$ и выделенным направлением;

или 

  • проведена биссектриса угла $\angle C$ для пятой фигуры и вектор $\vec{E}_C$ направлен вдоль этой оси. В тексте или на рисунке явно указано, что проведённая линия - это биссектриса $\angle C$.
 0.50
4 M1

Предложен корректный и реализуемый способ определения модуля $\vec{E}_C$:

  • предложена комбинация пятой фигуры и двух геометрически подобных друг другу фигур с противоположными поверхностными плотностями зарядов, позволяющая получить поле одной третьей части четвертой фигуры в точке $C$;

или

  • пятая фигура разделена на отрезки малой толщины; показано равенство вкладов в общую напряженность поля в точке $C$ от дуги и отрезка, обладающих одинаковой линейной плотностью заряда, видимых из точки наблюдения под одинаковым углом; показано, что одинаковая линейная плотность заряда на дуге и отрезке c одинаковой поверхностной плотностью заряда, достигается при их одинаковых толщинах; показано, что такое разделение позволяет преобразовать четвертую фигуру в первую фигуру.
 1.50
5 M1 Предложенный метод содержит некритические недостатки, например, нет указания ни на одинаковую линейную плотность заряда, ни на одинаковую толщину. 1.00
6 M1 Метод некорректен или метод отсутствует. 0.00
7 M1 Обосновано получено, что $E_C=E_0/(\sqrt3+1)$. 1.00
8 M2

Предложен корректный и реализуемый способ определения напряженности пятой фигуры путём интегрирования, позволяющий получить явное выражение для коэффициента, связывающего $E_C$ и поверхностную плотность заряда пятой фигуры $\sigma$. Для этого записан один или сумма нескольких интегралов, для которых одновременно верным образом: 

  • определено разбиение фигуры; 
  • записаны пределы интегрирования; 
  • записано подынтегральное выражение; 
  • определены величины, по которым ведётся интегрирование;
  • подынтегральное выражение должно содержать в качестве переменных только величины, по которым ведётся интегрирование.
 0.50
9 M2 Обоснованно получено, что $E_C=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt3+1} \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \ln{2}$. 0.50
10 M2

Предложен корректный и реализуемый способ определения напряженности первой фигуры путём интегрирования, позволяющий получить явное выражение для коэффициента, связывающего $E_0$ и поверхностную плотность заряда первой фигуры $\sigma$. Для этого записан один или сумма нескольких интегралов, для которых одновременно верным образом: 

  • определено разбиение фигуры; 
  • записаны пределы интегрирования; 
  • записано подынтегральное выражение; 
  • определены величины, по которым ведётся интегрирование;
  • подынтегральное выражение должно содержать в качестве переменных только величины, по которым ведётся интегрирование.
 0.50
11 M2 Обоснованно получено, что $E_0=\sqrt{2} \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \ln{2}$. 0.50
12 M2 Обосновано получено, что $E_C=\frac{E_0}{\sqrt3+1}$. 

Примечание: Если в решении отсутствует описание способа нахождения модуля $\vec{E_C}$ и/или этот способ некорректный, за данный пункт ставится 0 баллов.

 0.50