1  ^?? Чему равно отношение $E'/E_0$, где $E'$ — модуль напряжённости электрического поля, созданного в точке $O'$ второй заряженной фигурой, имеющей форму квадрата со стороной $2\lambda a$, от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной $\lambda a$ (рис. 2)? $\lambda$ — некоторое положительное число.

Пусть поверхностная плотность заряда всех фигур, упоминаемых ниже, постоянна, одинакова и равна $\sigma$ ($\sigma>0$). Рассмотрим бесконечно малую заряженную площадку с площадью $\Delta S_1$ и зарядом $\sigma\Delta S_1$, расположенную на расстоянии $r$ от точки $O$, и геометрически ей подобную вторую площадку, заряженную с той же поверхностной плотностью $\sigma$, но расположенную на расстоянии $\lambda r$, где $\lambda$ — коэффициент подобия. Поскольку $$\Delta S_2=\lambda^2\Delta S_1,$$ напряжённости электрических полей, созданных этими площадками, равны: $$E_2=\frac{\sigma \Delta S_2}{4\pi\varepsilon_0(\lambda r)^2}=\frac{\sigma \lambda^2 \Delta S_1}{4\pi\varepsilon_0(\lambda r)^2}=\frac{\sigma \Delta S_1}{4\pi\varepsilon_0r^2}=E_1.$$ Рассмотрим теперь две заряженные пластины конечного размера, геометрически подобные друг другу с коэффициентом подобия $\lambda$ и расположенные так, как показано на рис. 6, где $O$ — центр подобия этих пластин ($\overrightarrow{OC}=\lambda\cdot \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OD}=\lambda\cdot \overrightarrow{OC}$ и т. п.).  Разобьём обе пластины на бесконечно малые площадки, причём так, чтобы каждый элемент разбиения второй пластины был подобен соответствующему элементу первой с центром подобия в точке $O$. Поскольку, как было показано выше, напряжённости электрических полей, созданных в точке $O$ бесконечно малыми площадками, образующими такую пару, совпадают, то и напряжённости электрических полей, созданных в точке $O$  всей первой и всей второй пластиной, тоже будут совпадать (по модулю и по направлению).

В частности, это значит, что напряжённость поля в точке $O'$, созданного фигурой, изображённой на рис. 2 из условия задачи, будет также равна $E_0$.

2  ^?? Определите модуль и направление вектора напряжённости $\vec{E}_A$ электрического поля, созданного в точке $A$ третьей заряженной фигурой, представляющей собой квадрат со стороной $8a$, от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной $a$ (рис. 3). Модуль вектора $\vec{E}_A$ выразите через величину $E_0$.

Из симметрии фигуры следует, что вектор $\vec{E}_A$ направлен вверх и вправо вдоль этой оси симметрии.

Используя результат пункта 1, получим, что напряжённость электрического поля, созданного в точке $A$ каждой из трёх фигур на рис. 7 (зелёной, синей или серой), равна $E_0$. Отсюда следует, что заряженная фигура, изображённая в условии на рис. 3, создаёт в точке $A$ поле с напряжённостью $3E_0$.

3  ^?? Определите модуль и направление вектора напряжённости $\vec{E}_B$ электрического поля, созданного в точке $B$ четвёртой заряженной фигурой, имеющей форму четверти кольца (рис. 4), внутренний радиус которого равен $a$, а внешний — $2a$. Модуль вектора $\vec{E}_B$ выразите через $E_0$.

Из симметрии фигуры следует, что вектор $\vec{E}_B$ направлен вверх и вправо вдоль этой оси симметрии.

4  ^?? Определите модуль и направление вектора напряжённости $\vec{E}_C$ электрического поля, созданного в точке $C$ пятой заряженной фигурой, имеющей форму трапеции (рис. 5), одно основание которой равно $a$, второе — $2a$. Модуль вектора $\vec{E}_C$ выразите через $E_0$. Углы при большем основании данной трапеции указаны на рисунке.

Воспользуемся подходом из предыдущего пункта и рассмотрим заряженную пластину, изображённую на рис. 9 (снова всю окрашенную как-либо область). Зелёная и синяя области, благодаря подобию, создают в точке $C$ поле с одинаковой по величине и направлению напряжённостью. Следовательно, напряжённость поля, созданного в точке $C$ указанной в условии трапецией, совпадает с напряжённостью поля, созданного в той же точке кольцевым сектором с углом в $30^\circ$.

Отсюда, используя симметрию кольцевого сектора, делаем вывод, что вектор $\vec{E}_C$ напряжённости электрического поля, созданного трапецией в точке $C$, направлен по внешней биссектрисе угла $\angle C$ (см. рис. 10).

Кольцевой сектор с внутренним и внешним радиусами, отличающимися в два раза, представляет собой (с точностью до подобия) одну треть от фигуры, изображённой в условии на рис. 4. Используя результат предыдущего пункта, получим (см. рис. 11)
$$E_0=2E_C\cos 30^\circ+E_C=E_C(\sqrt3+1)\quad\Rightarrow\quad E_C=\frac{E_0}{\sqrt3+1}.$$