1  ^?? Чему равны разности потенциалов $(\varphi_{+}-\varphi_{-})$ между плюсом и минусом каждого источника в данной цепи?

Используя симметрию электрической цепи, докажем, что потенциалы на соседних выводах источников каждого типа одинаковы. Для этого введём обозначения узлов $A_1,$ $B_1,$ $A_2,$ $B_2,$ $A_3$, $B_3$ и т.д., как показано на рис. 1.

Воспользуемся методом наложения. Рассмотрим сначала систему из источников только с ЭДС $\cal {E}$ при "выключенных" ЭДС всех остальных источников (см. рис. 2).

Сдвиг на одно звено схемы вдоль направления $A_3 - A_1$ переводит схему "саму в себя", поэтому $\varphi_{A_3}-\varphi_{B_3}=\varphi_{A_2}-\varphi_{B_2}=\varphi_{A_1}-\varphi_{B_1}=\Delta \varphi$, а также $\varphi_{A_4}-\varphi_{B_3}=\varphi_{A_3}-\varphi_{B_2}=\varphi_{A_2}-\varphi_{B_1}=\Delta \varphi'$, где $\varphi_M$ — потенциал соответствующего узла $M$.

Перевернём цепь таким образом, что узлы $A_3$ и $B_2$, а также узлы $A_2$ и $B_3$ меняются местами (см. рис. 3).

Так как цепь перешла "сама в себя", то $$\varphi_{B_2}-\varphi_{A_2}=\varphi_{B_3}-\varphi_{A_3}=\varphi_{B_4}-\varphi_{A_4}=\Delta \varphi,$$ $$\varphi_{B_1}-\varphi_{A_2}=\varphi_{B_2}-\varphi_{A_3}=\varphi_{B_3}-\varphi_{A_4}=\Delta \varphi'.$$ Откуда следует, что $\Delta \varphi=-\Delta \varphi$ и $\Delta \varphi'=-\Delta \varphi'$ или $\Delta \varphi=0$ и $\Delta \varphi'=0$. С учётом этого получаем, что потенциалы, созданные системой источников с ЭДС $\cal{E}$, во всех узлах такой схемы одинаковы. 

Аналогично можно рассмотреть отдельно систему из источников только с ЭДС $2\cal{E}$ и систему из источников только с ЭДС $3\cal{E}$ при "выключенных" ЭДС всех остальных источников. Таким образом, разность потенциалов между любыми двумя узлами схемы в каждой рассмотренной системе равна нулю, а согласно методу наложения и результирующая разность потенциалов между любыми двумя узлами схемы также равна нулю. Значит, разности потенциалов между плюсом и минусом каждого типа источников равны:

2  ^?? Определите силы токов через все источники в данной цепи.

Запишем закон Ома для произвольной пары соседних узлов, участок цепи между которыми содержит ЭДС ${\cal E}$:
\[(\varphi_{+}-\varphi_{-})+{\cal{E}}=I_1r.\] Здесь положительному значению $I_1$ соответствует ток, текущий в направлении действия $\cal E$. Поскольку $\varphi_{+}-\varphi_{-}=0$, сила тока $I_1 = \cal E / r$ для любого такого участка. Аналогично для участков цепи, содержащих ЭДС $2{\cal E}$ и $3{\cal E}$:
\[\begin{align} (\varphi_{+}-\varphi_{-})+2{\cal{E}} &= I_2r; \\
(\varphi_{+}-\varphi_{-})+3{\cal{E}} &= I_3r.\end{align}\] Следовательно,

3  ^?? Какое сопротивление $R_1$ покажет омметр при подключении к плюсу и минусу источника с ЭДС $\cal{E}$, находящегося в данной цепи? Какие сопротивления $R_2$ и $R_3$ покажет прибор, если сделать то же самое с источниками $2\cal{E}$ и $3\cal{E}$ соответственно? Будут ли зависеть показания омметра от полярности его подключения?

Рассмотрим бесконечную электрическую цепь с двумя соседними (ближайшими) выводами на источнике любого типа как эквивалентный источник с ЭДС ${\cal E}_{экв}$ и внутренним сопротивлением $r_{экв}$ (рис. 4).

ЭДС эквивалентного источника ${\cal E}_{экв}=0$, так как разность потенциалов между любыми двумя соседними выводами равна нулю.

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника $r_{экв}$ определим как сопротивление между двумя соседними (ближайшими) узлами бесконечной сетки с "выключенными" ЭДС. Для этого снова воспользуемся методом наложения. Рассмотрим сначала бесконечную сетку с внутренними сопротивлениями источников, где в один из узлов втекает ток силой $I_0$ и растекается до бесконечности. В ближайших к данному узлу ветках силы токов будут одинаковы (в силу симметрии) и равны $I_+=I_0/6$. Затем рассмотрим ту же бесконечную сетку, где из соседнего узла вытекает ток силой $I_0$. Аналогично, в данной схеме токи в ближайших к данному узлу ветках будут одинаковы и равны $I_-=I_0/6$. 

Далее рассмотрим суперпозицию этих двух случаев. Тогда напряжение на сопротивлении $r$ равно $(I_+ + I_-)r$, следовательно 

$$ r_{экв}=\frac{(I_+ + I_-)r}{I_0}=\frac{r}{3}. $$

Таким образом, при использовании любых двух соседних (ближайших) узлов электрическая схема ведёт себя как резистор с сопротивлением $r_{экв}=r/3$. Поэтому показания омметра не будут зависеть от полярности его подключения. С учётом этого получаем ответ для показаний омметра:

4  ^?? Один из источников с ЭДС $2\cal{E}$ заменили другим источником с ЭДС, равной $\cal{E}$, и внутренним сопротивлением $r/2$. Какова в этом случае будет сила тока $I$, текущего через заменённый источник?

Эквивалентный источник из предыдущего пункта можно представить как параллельное соединение источника с ЭДС $2{\cal E}$ и сопротивлением $r$ (который заменяется другим источником по условию) и источника с ЭДС ${\cal E}^*$ и сопротивлением $r^*$, который эквивалентен оставшейся части электрической схемы (см. рис. 5).

С учётом того, что ЭДС эквивалентного источника ${\cal E}_{экв}=0$ и его сопротивление $r_{экв}=r/3$, найдем ${\cal E}^*$ и $r^*$.

Сопротивления связаны соотношением
$$\frac{1}{r_{экв}}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r^*},$$ откуда $r^*=r/2$.
Приравнивая токи короткого замыкания рассмотренного параллельного соединения источников и эквивалентного источника, приходим к соотношению:
$$\frac{{\cal E}^*}{r^*}-\frac{2{\cal E}}{r}=\frac{{\cal E}_{экв}}{r_{экв}},$$ откуда находим ${\cal E}^*={\cal E}$.

Источник с ЭДС $2{\cal E}$ и сопротивлением $r$ можно заменить источником с ЭДС ${\cal E}$ и сопротивлением $r/2$ двумя разными способами (используя разную полярность подключения, как представлено на рис. 6).

При подключении первым способом согласно закону Ома для полной цепи
$$I=\frac{{\cal E}-{\cal E}}{r/2+r/2}=0.$$При подключении вторым способом согласно закону Ома для полной цепи
$$I=\frac{{\cal E}+{\cal E}}{r/2+r/2}=\frac{2\cal{E}}{r}.$$
В итоге, в зависимости от способа подключения получаем: