1  ^?? Измерьте длину $L$ выданной цепочки. Оцените погрешность полученного значения.

Длину цепочки $L$ измерим с помощью мерной ленты. Так как цепочка закреплена, мы можем, например, вынуть лапку из крепления или развернуть лапку так, чтобы цепочка висела вертикально.  Запишем полученное значение:

2  ^?? Экспериментально исследуйте зависимость длины $s$ горизонтальной части цепочки от высоты $H$ точки её крепления над рабочей поверхностью. Снимите не менее 15 точек.

Установим лапку штатива на некоторой небольшой высоте и расположим цепочку так, как указано в условии. Медленно и аккуратно будем перемещать вверх точку крепления конца цепочки, каждый раз измеряя с помощью мерной ленты высоту $H$ и длину $s$. Полученные значения занесём в таблицу:

3  ^?? Выведите формулу теоретической зависимости, связывающей $H$, $s$ и $\mu$ — коэффициент трения звеньев цепочки о рабочую поверхность.

Пусть $l=(L-s)$ — длина висящей части нашей цепочки, $m_1=ml/L$ — её масса, а $m_2=ms/L$ — масса горизонтального участка. Сделаем два рисунка и изобразим на них силы, действующие, соответственно, на висящую (рис. 2а) и горизонтальную (рис. 2б) части цепочки.

Из условия равновесия обеих частей цепочки получим:
$$N=m_2g=mgs/L,\qquad T_2=F_{тр}=\mu N=\mu mgs/L,$$$$T_1\cos\alpha=T_2=\mu mgs/L,\qquad T_1\sin\alpha=m_1g=mgl/L,$$$$T_1=\sqrt{T_2^2+(m_1g)^2}=\frac{mg}{L}\cdot\sqrt{l^2+\mu^2s^2}=\frac{mg}{L}\cdot\sqrt{(L-s)^2+\mu^2s^2}.$$С другой стороны, с помощью метода виртуальных перемещений (то есть мысленно смещая висящую часть цепочки вдоль неё самой на малое расстояние $\Delta x$) найдём, что $T_1\Delta x - T_2\Delta x = (m\Delta x/L)gH$, откуда
$$T_1-T_2=mgH/L.$$Подставляя теперь выражения для $T_1$ и $T_2$ в записанное выше соотношение, получим

4  ^?? Используя экспериментальные данные и результат пункта 3, постройте график зависимости, связывающей $s$ и $H$. Выберите величины, откладываемые по осям, таким образом, чтобы полученный график был прямой линией.

Преобразуем полученное в пункте 3 выражение для $H$:
$$l^2+\mu^2s^2=(H+\mu s)^2 \qquad\Rightarrow\qquad \left(\frac{l}{H}\right)^2-1=2\mu\cdot \frac{s}{H}.$$Отсюда следует, что, если отложить по осям величины $s/H$ и $(l/H)^2-1$, график их зависимости должен быть прямой линией, проходящей через начало координат и имеющей коэффициент наклона, равный $2\mu$.

Вычислим для каждой измеренной точки значения $l=L-s$, $s/H$ и $(l/H)^2-1$. Дополним этими значениями полученную выше таблицу.

$s$, см	86,7	85,3	83,4	80,9	79,1	76,4	74,3	73,3	70,0	67,8	65,7	62,4	60,0	57,7	54,8	52,6	49,1	46,9	43,4
$H$, см	5,9	6,9	8,5	10,6	12,5	14,4	16,6	18,3	21,2	23,5	26,2	29,4	32,2	34,7	37,4	40,1	44,0	46,3	50,8
$l$, см	13,1	14,5	16,4	18,9	20,7	23,4	25,5	26,5	29,8	32,0	34,1	37,4	39,8	42,1	45,0	47,2	50,7	52,9	56,4
$s/H$	14,69	12,36	9,81	7,63	6,33	5,31	4,48	4,01	3,30	2,89	2,51	2,12	1,86	1,66	1,47	1,31	1,12	1,01	0,85
$(l/H)^2-1$	3,93	3,42	2,72	2,18	1,74	1,64	1,36	1,10	0,98	0,85	0,69	0,62	0,53	0,47	0,45	0,39	0,33	0,31	0,23

Нанесём полученные точки на миллиметровку и построим аппроксимирующую прямую (синяя прямая на рис. 3).

5  ^?? С помощью графика, построенного в пункте 4, определите коэффициент трения $\mu$ между звеньями цепочки и рабочей поверхностью. Оцените погрешность полученного значения.

Определяя коэффициент наклона аппроксимирующей прямой $k=2\mu$, найдём коэффициент трения $\mu$:
$$k=0{,}28 \qquad \Rightarrow\qquad \mu=0{,}14.$$Погрешность величины $\mu$ оценим с помощью "метода границ" (красные линии на рис. 3):
$$\Delta k\approx 0{,}02 \qquad \Rightarrow\qquad \Delta\mu\approx 0{,}01.$$

6  ^?? Используя экспериментальные значения, полученные в пункте 2, и применяя экстраполяцию, постройте график зависимости $(L-s)$ от $H$ во всём диапазоне $H\in[0;L]$.

Возьмём из таблицы, приведённой выше, вычисленные для каждого $H$ значения $l=(L-s)$ и нанесём полученные точки на миллиметровку. Добавим к ним две точки, полученные теоретически: 1) при $H=0$ цепочка должна полностью лежать на рабочей поверхности, следовательно $l=0$; 2) при $H=L$ цепочка висит вертикально, и $l=L$. Проводя сглаживающую кривую, получим искомый график (синяя линия на рис. 4).

7  ^?? С помощью полученного в пункте 6 графика вычислите работу $A$, которую совершает сила, действующая на цепочку со стороны крепления, при медленном подъёме точки крепления от высоты $H_1=30{,}0\ см$ до $H_2=L$. Оцените погрешность полученного значения. В данном пункте считайте, что в процессе перемещения точка крепления цепочки движется строго вертикально.

Работа, совершаемая силой $T_1$ (см. рис. 2а) при малом вертикальном перемещении $\Delta H$ точки крепления, равна $$\Delta A=T_1\sin\alpha\,\Delta H=\frac{mg}{L}\cdot l\Delta H.$$ Следовательно, работа силы $T_1$ при вертикальном перемещении от $H_1$ до $H_2$ равна $$A=\frac{mg}{L}\cdot S,$$ где $S$ — площадь области, ограниченной графиком $l(H)$, осью абсцисс и прямыми $H=H_1$ и $H=H_2$.

Участок графика функции $l(H)$ между $H_1=30\ см$ и $H_2=99{,}8\ см$ является практически прямолинейным, поэтому

$$S=\frac{l(H_1)+l(H_2)}{2}\cdot (H_2-H_1)=\frac{38\ см+99{,}8\ см}{2}\cdot 69{,}8\ см\approx 4809\ см^2.$$

Отсюда

$$A=\frac{mg}{L}\cdot S\approx 50{,}5\ мДж.$$

Относительная погрешность полученного значения $A$ равна

$$\varepsilon_A=\varepsilon_m+\varepsilon_g+\varepsilon_L+\varepsilon_S,$$

где $\varepsilon_m=0{,}2/10{,}7\approx 1{,}87%$, $\varepsilon_L=0{,}2/99{,}8\approx 0{,}20\%$, $\varepsilon_g=0{,}05/9{,}8\approx 0{,}51\%$ — относительные погрешности, соответственно, массы цепочки, её длины и ускорения свободного падения.

Оценим погрешность определения площади $S$:

$$\varepsilon_S=\frac{\Delta l(H_1)+\Delta L}{l(H_1)+L}+\frac{\Delta L}{L-H_1}=\frac{1\ см+0{,}2\ см}{137{,}8\ см}+\frac{0{,}2\ см}{69{,}8\ см}\approx 1{,}2\%.$$

Отсюда следует, что $$\varepsilon_A\approx 3{,}8\%\qquad\Rightarrow\qquad \Delta A=A\varepsilon_A\approx 2\ мДж.$$