Logo
Logo

Треугольное сближение

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

0.0
Сумма баллов
A1  0.10 Определите распределение заряда по поверхности шара.

1 Указано, что распределение заряда по поверхности шара однородно 0.10
A2  0.40 Запишите граничные условия для нормальной и касательной компонент электрического поля на границе шара и среды.

1 Записаны соотношения:
\[\begin{cases}E_\tau=\operatorname{const}\\
\varepsilon_1E_{n1}=\varepsilon_2E_{n2}\end{cases}\] 		2 × 0.20
A3  1.20 Используя теорему Гаусса, покажите, что поверхностная плотность заряда на шаре удовлетворяет соотношению\[\varsigma(\theta)=A\cdot\dfrac{\varepsilon-1}{\varepsilon+2}\cdot\cos \theta\]и определите $A$. Ответ выразите через диэлектрическую постоянную $\varepsilon_{0}$ и $E$.

1 Указано, что шар обладает дипольным моментом 0.30
2 Корректное доказательство требуемого соотношения 0.60
3 Выражено $A$: \[A=3\varepsilon_0 E\] 0.30
A4  0.10 Запишите распределение заряда по поверхности шара $\varsigma(\theta)$. Ответ выразите через $\varepsilon_{0}$, $E$, $\varepsilon$, $q$, $R$.

1 Записано распределение:
\[\varsigma(\theta )=\dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0R^2}+3\varepsilon_0E\cdot\dfrac{\varepsilon-1}{\varepsilon+2}\cdot\cos \theta\] 		0.10
B1  0.20 Рассмотрев касательные силы, действующие на сферу 1, получите связь на $m_2$, $m_3$, $L_2$, $L_3$, $\sin\alpha$, $\sin\beta$.

1 Получено соотношение:
\[m_2{L_2}^2\sin\alpha=m_3{L_3}^2\sin\beta\]или аналогичное ему 		0.20
B2  0.90 Докажите, что $L_1=L_2=L_3=L$.

1 M1 Записаны теоремы синусов для треугольников $\Delta ABD$ и $\Delta ACD$ 2 × 0.25
2 M1 Сделан обоснованный вывод о равенстве сторон 0.40
3 M2 Иное корректное доказательство возможности равенства сторон 0.50
4 M2 Обоснована единственность устойчивой равновесной конфигурации 0.40
B3  0.80 Определите расстояние между сферами $L_0$ в начальный момент времени. Ответ выразите через $G$, $\gamma$, $\omega_0$, $M$.

1 Выражено нормальное ускорение:\[a_n=\omega_0^2r\] 0.10
2 Записан второй закон Ньютона в векторной форме:
\[-m_1\omega_0^2\vec{r_1}=\dfrac{\gamma^2Gm_1m_2(\vec{r_2}-\vec{r_1})}{(\vec{r_2}-\vec{r_1})^3}+\dfrac{\gamma^2Gm_1m_3(\vec{r_3}-\vec{r_1})}{(\vec{r_3}-\vec{r_1})^3}\] 		0.20
3 Получено выражение:
\[\dfrac{\gamma^2G(m_2\vec{r_2}+m_3\vec{r_3}-(m_2+m_3)\vec{r_1})}{L_0^3}=-\dfrac{\gamma^2GM\vec{r_1}}{L_0^3}\] 		0.20
4 Получен верный ответ:
\[L_0=\sqrt[3]{\dfrac{\gamma^2GM}{\omega_0^2}}\] 		0.30
C1  0.20 Выразите мощность джоулевых потерь в единице объема $\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dV}$.

Ответ запишите через $j$, $\sigma$.

1 Записано соотношение:
\[\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dV}=\dfrac{j^2}{\sigma }\] 		0.20
C2  0.30 Считая поле, создаваемое шаром 2 в окрестности шара 1, примерно однородным, получите зависимость поверхностной плотности индуцированного заряда $\varsigma(\theta)$. Ответ выразите через $q_2$, $L$, $\theta$.

1 Получено выражение:
\[\varsigma(\theta )=\dfrac{3q_2}{4\pi L^2}\cdot\cos\theta\] 		0.30
C3  0.50 Рассматривая поток вектора плотности тока через малый элемент площади $\mathrm dS$, получите дифференциальное уравнение на $j(\theta )$. Уравнение может содержать любые комбинации $j(\theta)$, $R$, $h$, $\theta$, $t$, $\varsigma(\theta)$. Положительное направление вектора плотности тока совпадает с направлением возрастания $\theta$.

1 Записано в любой форме: \[(j(\theta)\sin\theta-j(\theta+\mathrm d\theta)\sin(\theta+\mathrm d\theta))h\mathrm dt=\mathrm d\varsigma\cdot 2\pi R\sin\theta\mathrm d\theta\] 0.50
2 Неверный знак -0.20
C4  0.10 Запишите граничное условие на $j(\theta )$. Для этого определите минимальное значение плотности тока на сфере $j_{\min}$.

1 Получено выражение: \[j_{\min}=0\] 0.10
C5  1.00 Выразите модуль объёмной плотности тока $j_{12}(\theta )$. Ответ может содержать $q_2$, $L$, $\theta$, $R$, $h$, $\dot L$.

1 Корректное дифференцирование: \[\dfrac{\mathrm d\varsigma}{\mathrm dt}=-\dfrac{3q_2\cos\theta\dot L}{2\pi L^3}\] 0.20
2 Произведено интегрирование: \[j\sin\theta=-\dfrac{3q_2\dot LR}{8\pi L^3h}(\cos2\theta+C)\] 0.30
3 Указано, что на всей сфере величина $j(\theta)$ конечна 0.20
4 Получен ответ: \[j(\theta)=\dfrac{3q_2\dot LR}{4 \pi L^3h}\sin\theta\] 0.30
5 Потерян знак -0.10
C6  0.30 Выразите для сферы 1 $j^2(\theta )$, учитывая взаимодействие с двумя оставшимися сферами. Ответ выразите через $q_2$, $q_3$, $L$, $\theta$, $R$, $h$, $\dot L$.

1 Получено выражение: \[j^2(\theta)=\left(\dfrac{3\dot LR}{4 \pi L^3h}\sin\theta\right)^2(q_3^2+q_2^2-q_3q_2)\] 0.30
C7  0.70 Определите полную мощность джоулевых потерь в системе. Ответ выразите через $m_1$, $m_2$, $m_3$, $R$, $h$, $\sigma$, $G$, $\gamma$, $L$, $\dot L$.

1 Корректное интегрирование:\[\int\limits_0^\pi{\sin^3\theta\mathrm d\theta}=\dfrac{4}{3}\] 0.20
2 Получен ответ: \[P=\dfrac{6(1-\gamma^2)G\varepsilon_0\dot L^2R^4\cdot(2(m_1^2+m_2^2+m_3^2)-m_1m_2-m_2m_2-m_1m_3)}{L^6h\sigma}\] 0.50
3 Другой численный коэффициент -0.30
D1  0.30 Определите угловую скорость вращения системы $\omega$ в момент, когда расстояние между сферами равно $L$. Ответ выразите через $G$, $\gamma$, $L_0$, $M$, $L$.

1 Записан ЗСМИ:
\[\omega L^2=\omega_0L_0^2\] 		0.10
2 Получен ответ: \[\omega=\sqrt{\dfrac{\gamma^2GM}{L_0^3}}\dfrac{L_0^2}{L^2}\] 0.20
D2  1.20 Выразите полную энергию системы $W$. Ответ может содержать $G$, $\gamma$, $\omega_0$, $M$, $L$, $m_1$, $m_2$, $m_3$, $\dot L$.

1 Правильное слагаемое гравитационно-кулоновской энергии:
\[W_p=-\dfrac{\gamma^2G(m_1m_2+m_2m_3+m_1m_3)}{L}\] 		0.20
2 Правильное слагаемое кинетический энергии вращательного движения относительно центра масс:
\[K_1=\dfrac{\gamma^2GL_0(m_1m_2+m_2m_3+m_1m_3)}{2L^2}\] 		0.40
3 Правильное слагаемое кинетический энергии сближения/отдаления:
\[K_2=\dfrac{(m_1(m_2^2+m_3^2)+m_2(m_1^2+m_3^2)+m_3(m_2^2+m_1^2)+3m_1m_2m_3)\dot L^2}{2M^2}\] 		0.50
Propogation error: если численные коэффициенты перед слагаемыми энергии или мощности потерь неправильные, баллы за дальнейшие пункты части D ставятся
5 С точностью до константы получен ответ: \[W=-\dfrac{\gamma^2G(m_1m_2+m_2m_3+m_1m_3)}{L}+\dfrac{\gamma^2GL_0(m_1m_2+m_2m_3+m_1m_3)}{2L^2}+\dfrac{(m_1(m_2^2+m_3^2)+m_2(m_1^2+m_3^2)+m_3(m_2^2+m_1^2)+3m_1m_2m_3)\dot L^2}{2M^2}\] 0.10
D3  0.30 Дифференцируя $W$ по времени, получите дифференциальное уравнение на $L$. Выражение может содержать длину стороны треугольника $L$, ее производные по времени, $G$, $\gamma$, $L_0$, $M$, $m_1$, $m_2$, $m_3$, $R$, $h$, $\sigma$.

1 Получено уравнение: \[\dfrac{(m_1(m_2^2+m_3^2)+m_2(m_1^2+m_3^2)+m_3(m_2^2+m_1^2)+3m_1m_2m_3)}{M^2}\ddot L+\dfrac{\gamma^2G(m_1m_2+m_2m_3+m_1m_3)}{L^2}-\dfrac{\gamma^2GL_0(m_1m_2+m_2m_3+m_1m_3)}{L^3}+\dfrac{6(1-\gamma^2)G\varepsilon_0\dot LR^4\cdot(2(m_1^2+m_2^2+m_3^2)-m_1m_2-m_2m_2-m_1m_3)}{L^6h\sigma}=0\] 0.30
D4  0.50 В первом порядке малости по смещению $x$ и его производным получите уравнение движения системы. Ответ выразите через $G$, $x$, $\gamma $, $ \dot x$, $\ddot x$, $M$, $L_0$, $R$, $h$, $\sigma$.

1 Тейлор: \[1/L^2-L_0/L^3=x/L_0^3\] 0.20
2 Получено уравнение:
\[\dfrac{(m_1(m_2^2+m_3^2)+m_2(m_1^2+m_3^2)+m_3(m_2^2+m_1^2)+3m_1m_2m_3)}{M^2}\ddot x+\dfrac{\gamma^2G(m_1m_2+m_2m_3+m_1m_3)x}{L_0^3}+\dfrac{6(1-\gamma^2)G\varepsilon_0\dot xR^4\cdot(2(m_1^2+m_2^2+m_3^2)-m_1m_2-m_2m_2-m_1m_3)}{L_0^6h\sigma}=0\] 		0.30
3 Получено уравнение затухающих колебаний 0.10
4 Уравнение не соответствует затуханию колебаний 0.00
D5  0.20 В листе ответов сделайте обоснованный вывод об устойчивости треугольной системы.

1 Указано, что система устойчива 0.10
2 Утверждение обосновано затуханием колебаний 0.10
E1  0.30 Для сферы 1 получите дифференциальное уравнение на его заряд $Q_1(t)$ в зависимости от времени. Уравнение может включать в себя $Q_1(t)$, его производные по времени, $\sigma_\mathrm{out}$, $\varepsilon_0$, $\kappa_1$.

1 Получено выражение: \[\dot {Q_1}=-\dfrac{\sigma_{out}Q_1}{(1+\kappa_1)\varepsilon_0}\] 0.30
E2  0.30 Решите это уравнение с граничным условием $Q_1(0)=q_1$. Получите выражение для характерного времени разрядки тела 1 $\tau_1$. Ответ выразите через $\sigma_\mathrm{out}$, $\varepsilon_0$.

1 Записано решение:
\[\dot Q_1+\dfrac{\sigma_{out}}{\varepsilon_0(1+\kappa_1)}Q_1=0\] 		0.20
2 Получено время: \[\tau_1=\dfrac{\varepsilon_0}{\sigma_{out}}\] 0.10
E3  0.30 Укажите в листе ответов, к какой сфере будет прилежать наибольший угол в треугольнике, возникающий в процессе движения.

1 Выбрана первая сфера 0.30
E4  1.80 Численно определите максимальный угол отклонения от равновесного значения $\zeta$ в треугольнике в процессе последующего движения, считая $\zeta\ll 1$. 

1 Записана теорема синусов:
\[m_2{L_2}\sin\alpha=m_3{L_3}\sin\beta,\] 		0.10
2 Записано условие равномерного вращения: \[m_2{L_2}^2\sin\alpha(1+(1-\gamma^2)\cdot\operatorname {exp}[{-\dfrac{\sigma_{out} t}{\varepsilon_0\varepsilon_2}]})=m_3{L_3}^2\sin\beta(1+(1-\gamma^2)\cdot\operatorname {exp}[{-\dfrac{\sigma_{out} t}{\varepsilon_0\varepsilon_3}]})\] 0.30
3 Теоремы синусов:
\[\dfrac{L_1}{L_3}=\dfrac{\sin(\pi /3+\zeta_1)}{\sin(\pi /3+\zeta_3)},\] \[\dfrac{L_2}{L_3}=\dfrac{\sin(\pi /3+\zeta_2)}{\sin(\pi /3+\zeta_3)}\] 		2 × 0.05
4 Получена система уравнений:
\begin{cases}\\\dfrac{\zeta_1-\zeta_3}{2}=(1-\gamma^2)\dfrac{(\kappa_3-\kappa_1)\sigma_{out}t\cdot \exp[-\dfrac{\sigma_{out}t}{\varepsilon_0}]}{\varepsilon_0(1-(1-\gamma^2)\exp[-\dfrac{\sigma_{out}t}{\varepsilon_0}])}\\\dfrac{\zeta_2-\zeta_3}{2}=(1-\gamma^2)\dfrac{(\kappa_3-\kappa_2)\sigma_{out}t\cdot \exp[-\dfrac{\sigma_{out}t}{\varepsilon_0}]}{\varepsilon_0(1-(1-\gamma^2)\exp[-\dfrac{\sigma_{out}t}{\varepsilon_0}])}\\\zeta_1+\zeta_2+\zeta_3=0,\end{cases} 		0.30
5 Выражено $\zeta$:
\[\zeta_1=2(1-\gamma^2)\dfrac{(\kappa_3+\kappa_2-2\kappa_1)\sigma_{out}t\cdot \exp[-\dfrac{\sigma_{out}t}{\varepsilon_0}]}{3\varepsilon_0(1-(1-\gamma^2)\exp[-\dfrac{\sigma_{out}t}{\varepsilon_0}])}\] 		0.20
6 Получен положительный корень уравнения:
\[x_1=0.318\] 		0.30
7 Получен ответ:
\[\zeta=28.2{''}\] 		0.50