| 1 M1 Верно записано условие равновесия корабля: $$\vec{F}=-P\vec{r}_1-P\vec{r}_2-2P\vec{r}_3=0. $$ | 0.50 |
|
| 2 M1 Условие равновесия переписано с использованием одного переменного вектора и двух постоянных. (Например вектора $\vec{r}_3$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$). | 1.00 |
|
| 3 M1 Значение переменного вектора выражено через постоянные вектора. $\vec{r}_3 = \frac{1}{4} \left(\vec{a} + \vec{b} \right)$ | 1.00 |
|
|
4
M2
Записана формула для суммарной сила, действующая на объект со стороны станций $A$ и $B$: $$\vec{F}_{AB} = -P (\vec{r}_A + \vec{r}_B).$$ |
0.50 |
|
| 5 M2 Верно доказано, что результирующая сила со стороны $A$ и $B$ равна силе, создаваемой станцией с коэффициентом $2P$, расположенной в середине отрезка $AB$. | 1.00 |
|
| 6 M2 Указано, что положение равновесия корабля находится в середине медианы, проведенной из вершины с прямым углом. | 1.00 |
|
| 7 M3 Верно записано условие равновесия корабля. | 0.50 |
|
| 8 M3 Условие равновесия корректно спроецировано на каждую ось. | 2 × 1.00 |
|
| 9 M4 Верно записано условие равновесия корабля. | 0.50 |
|
| 10 M4 В решении верно доказано, что для поиска положения равновесия может быть использована формула для расчёта центра масс, и приведены точечные массы с правильным соотношением $(1:1:2)$. | 2.00 |
|
| 11 Верно расчитаны расстояния от вершин до точки $M$:$$CM=\frac{l}{4};~BM=\frac{\sqrt{3}l}{4};~AM=\frac{\sqrt{7}l}{4}.$$ | 3 × 0.50 |
|
| 1 В работе явно используется то, что сила, действующая на корабль, направлена к положению равновесия. | 0.50 |
|
| 2 В решении указано, что корабль будет двигаться вдоль отрезка $CO$. | 0.50 |
|
| 3 Использован факт о том, что максимальная скорость достигается при прохождении положения равновесия. | 0.50 |
|
|
4
Правильно составлен закон сохранения энергии (Разные варианты приведены ниже для разных методов): $$\frac{4P\left(\frac{l}{4}\right)^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2} - \text{для одной "пружины"} \\ \frac{2P\left(\frac{l}{2}\right)^2}{2}=\frac{2P\left(\frac{l}{4}\right)^2}{2}+\frac{2P\left(\frac{l}{4}\right)^2}{2}+\frac{mv_{max}^2}{2}. - \text{для двух "пружин"} \\ \frac{2P\left(\frac{l}{2}\right)^2}{2}+2\frac{P\left(\frac{l}{2}\right)^2}{2}=\frac{2P\left(\frac{l}{4}\right)^2}{2}+\frac{P\left(\frac{\sqrt{3}l}{4}\right)^2}{2}+\frac{P\left(\frac{\sqrt{7}l}{4}\right)^2}{2}+\frac{mv_{max}^2}{2}. - \text{для трех "пружин"}.$$ |
1.00 |
|
| 5 Получено верное выражение для максимальной скорости: $$v_{max} = \frac{l}{2} \sqrt{\frac{P}{m}}.$$ | 1.00 |
|
| 1 M1 В решении доказано, что траектория корабля симметрична относительно положения равновесия. | 0.50 |
|
| 2 M2 Для определения крайней точки траектории корабля правильно записан закон сохранения энергии. | 0.25 |
|
| 3 M2 Из закона сохранения энергии получена крайняя точка траектории. | 0.25 |
|
|
4
Ответ: минимальное расстояние до станции равно нулю.
Примечание: для засчитывания этого пунтка не требуется условие остановки корабля в точке С. |
0.50 |
|
| 1 Найдена скорость точки положения равновесия $M$: $v_M = v_{max}$. | 0.50 |
|
| 2 Рассматривается движение в системе отсчета точки $M$. | 0.50 |
|
| 3 Показано, что в системе отсчета точки $M$ корабль будет двигаться по окружности. | 1.00 |
|
| 4 В работе показано, что первая остановка произойдет через один период вращения корабля. | 0.50 |
|
| 5 Правильный ответ на время: $T = \frac{2\pi l/4}{v_{max}} = \pi \sqrt{\frac{m}{P}}$ | 0.50 |
|
| 6 Найдено перемещение корабля в лабораторной системе отсчета до первой остановки $S = v_{max} T = \frac{\pi l}{2}$. | 0.50 |
|