1  ^?? Определите расстояния от каждой станции до точки, в которой корабль будет находиться в равновесии.

Первый способ

Второй способ

Из полученной формулы следует, что результирующая сила в точности равна силе, создаваемой станцией с коэффициентом $2P$, расположенной в середине отрезка $AB$. Таким образом, в дальнейшем мы можем считать, что на корабль действуют две станции:

• одна с коэффициентом $2P$ находится в вершине прямого угла (станция $C$),
• другая с коэффициентом $2P$ находится на середине гипотенузы (станция $O$).
  
   

Третий способ

Для нахождения положения равновесия рассмотрим систему из трёх точечных масс, расположенных в вершинах треугольника: по $m$ в вершинах острых углов и $2m$ — в вершине прямого угла. Тогда радиус-вектор, проведённый из произвольной точки $M$ до центра масс будет определяться по формуле:

$$4m\vec{r}_{цм}=m\vec{r}_1+m\vec{r}_2+2m\vec{r}_3.$$

В случае, если $M$ является центром масс системы, то 

$$\vec{r}_{цм}=0\Rightarrow \vec{r}_1+\vec{r}_2+2\vec{r}_3=0,$$

что совпадает с выражением, полученным из условия равновесия корабля.

Найдём координаты центра масс системы приняв за начало отсчёта вершину $C$:

$$y_{цм}=\frac{ml\cos30^\circ}{4m}=\frac{\sqrt{3}l}{8};\\x_{цм}=\frac{ml\sin30^\circ}{4m}=\frac{l}{8}.$$

Далее по теореме Пифагора определяем расстояния от точки равновесия до станций:

2  ^?? Определите максимальную скорость корабля $v_{\max}$ в процессе дальнейшего движения.

В начальный момент времени космический корабль покоится, а суммарная сила, действующая на него со стороны станций, направлена вдоль отрезка $CO$. Это означает, что ускорение корабля также направлено вдоль $CO$, и, следовательно, корабль будет двигаться прямолинейно вдоль этого отрезка и достигнет максимальной скорости в точке равновесия.

Первый способ

Посмотрим на отклонение корабля от положения равновесия на вектор $\overrightarrow{MK}$. Изменение суммарной силы со стороны станций равно:

$$\Delta \vec{F} = \vec{F} - \vec{0} = \vec{F} = \Delta \vec{F}_A + \Delta \vec{F}_B + \Delta \vec{F}_C = \\ =  -P(\overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AM}) - P(\overrightarrow{BK} - \overrightarrow{BM}) - 2 P(\overrightarrow{CK} - \overrightarrow{CM}) = -4P \cdot \overrightarrow{MK}$$

Значит, на корабль действует такая же сила, как от пружины с коэффициентом упругости $4P$ с нулевой начальной длиной, натянутой между точками $M$ и $K$. Тогда при перемещении корабля от середины гипотенузы до точки $M$ эта пружина совершит над кораблем работу:

$$ A  =  \frac{4P\left(\frac{l}{4}\right)^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}. $$

Второй способ

Воспользуемся аналогией с двумя пружинами и запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{2P\left(\frac{l}{2}\right)^2}{2}=\frac{2P\left(\frac{l}{4}\right)^2}{2}+\frac{2P\left(\frac{l}{4}\right)^2}{2}+\frac{mv_{\max}^2}{2}.$$

Третий способ

Элементарная работа силы, действующей со стороны некоторой станции, определяется выражением: 

$$\delta A=(\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{s})=-Pr \mathrm{d}r \Rightarrow A=-\int_{r_1}^{r_2}Pr \mathrm{d}r=\frac{Pr_1^2}{2}-\frac{Pr_2^2}{2}.$$

Максимальная скорость корабля будет достигнута при прохождении положения равновесия. Запишем закон сохранения энергии для этого случая:

$$\frac{2P\left(\frac{l}{2}\right)^2}{2}+2\frac{P\left(\frac{l}{2}\right)^2}{2}=\frac{2P\left(\frac{l}{4}\right)^2}{2}+\frac{P\left(\frac{\sqrt{3}l}{4}\right)^2}{2}+\frac{P\left(\frac{\sqrt{7}l}{4}\right)^2}{2}+\frac{mv_{\max}^2}{2}.$$

Любым из трёх способов получаем ответ: 

3  ^?? На какое минимальное расстояние в процессе движения корабль приблизится к станции, находящейся в вершине прямого угла?

Первый способ

Как мы показали ранее, сила, действующая на корабль, аналогична силе со стороны пружины с началом в точке $M$.

 

Второй способ 

При движении корабля под действием пары пружин, он будет двигаться вдоль отрезка $CO$, останавливаясь в точке $O$ и в точке $X$, где потенциальная энергия системы пружин равна её энергии при положении корабля в точке $O$. Это условие можно записать в виде уравнения: $$\frac{2P \left(\frac{l}{2}\right)^2}{2} = \frac{2P x^2}{2} + \frac{2P \left(\frac{l}{2} - x\right)^2}{2},$$ где $x$ — расстояние от точки $C$ до точки $X$. Полученное выражение сводится к квадратному уравнению: $$2x^2-lx = 0,$$ решая которое, получаем два корня: $$x_1 = \frac{l}{2}, \quad x_2 = 0.$$ Корень $x =l/2$ соответствует точке на середине гипотенузы, где корабль находился в начальный момент времени. Таким образом:

4  ^?? Спустя какое время и на каком расстоянии от начального положения корабль впервые остановится?

Как мы показали в решении пункта $2$, сила, действующая на корабль, равна $\vec{F} = - 4P \cdot \overrightarrow{MK}$, где $M$ — центр масс системы с точечными массами $(m, m, 2m)$, расположенными в вершинах $A$, $B$ и $C$. В отличие от предыдущих пунктов, точка $M$ не покоится. По свойству центра масс:
$$\vec{v}_M = \frac{m \vec{v}_A + m \vec{v}_B + 2m \vec{v}_C}{4m} =\frac{ \vec{v}_C}{2}$$Следовательно, скорость точки $M$ постоянна по направлению и равна $v_{\max}$ по модулю.
Для окончательного упрощения системы перейдем в инерциальную систему отсчета точки $M$.

Когда корабль совершит один оборот вокруг точки $M$, его скорость в лабораторной системе отсчета впервые обнулится. Это произойдет через время: $$T = \frac{2\pi l/4}{v_{\max}} = \frac{\pi}{\sqrt{\frac{P}{m}}} = \pi \sqrt{\frac{m}{P}}.$$В системе отсчета точки $M$ перемещение корабля за один период равно нулю. Значит, в ЛСО корабль сместился на такое же расстояние, что и точка $M$.
$$S = v_{\max} T = \frac{\pi l}{2}.$$

Обратим внимание, что траектория движения корабля, представляющая собой наложение движения по окружности и равномерного движения ее центра, представляет собой циклоиду, как показано на рисунке.