При изучении сложных явлений мы довольно часто не можем точно предсказать исход того или иного события. Но при изучении большого количества таких событий можно использовать статистический подход. При таком подходе мы опираемся на понятие вероятности того или иного события. Для этого мы выделяем множество неких «элементарных» событий, которые обычно считаем равновероятными. Затем подсчитываем, какая доля от общего количества «элементарных» событий означает наступление исследуемого события. Именно ее мы и считаем вероятностью.
Например, рассмотрим бросание на стол однородного кубика с шестью гранями, пронумерованными цифрами от $1$ до $6$. Рассчитать результат одного броска (то есть указать, какая цифра окажется сверху, когда кубик остановится) очень сложно. Но можно заметить, что одно бросание кубика может привести к шести возможным результатам (то есть выпадение каждого из чисел мы считаем «элементарным» событием), и, если они равновероятны, то выпадение каждого числа происходит с вероятностью $w={1}/{6}$. Умножив вероятность на количество попыток $N$, мы получаем математическое ожидание числа произошедших событий $w N$ (или среднее число «успехов» в серии из $N$ испытаний). Конечно, это не означает, что при $N=6$ бросках кубика обязательно выпадет одна цифра $1$ – это означает, что при очень большом числе бросков $N$ число выпадений $1$ будем тем ближе к $ N/6$, чем больше $N$.
Математики доказали, что при проведении серии из $N$ независимых испытаний с вероятностью успеха $w$ стандартное отклонение числа успехов (то есть корень квадратный из среднего квадрата отклонения от этого среднего) равно $\Delta N=\sqrt{N w(1-w)}$. Как видно, для числа выпадений 1 при 6 бросках $N_{1} \approx 1.0 \pm 0.9$ (относительная ошибка близка $90 \%$!), а при $60000$ бросках $N_{1} \approx 10000 \pm 91$ (относительная ошибка менее $1 \%$).
Пусть кубик бросается два раза. Как найти вероятность того, что при первом бросании выпадет цифра $1$, а при втором – цифра $2$? Эта вероятность вычисляется исходя из того, что это один вариант выпадения цифр из 36 возможных в двух независимых бросках - мы обнаруживаем, что вероятность осуществления двух независимых событий вместе равна произведению вероятностей осуществления каждого из них.
Бит – это не только единица измерения информации. С точки зрения физики так часто называют любую классическую систему с двумя состояниями. Например, простой проводящий контур с источником тока и ключом. При замкнутом ключе ток в контуре течет (состояние $1$), при разомкнутом – не течет (состояние $0$). Взяв набор контуров, можно, замыкая и размыкая ключи, «записать» любой двоичный код – последовательность нулей и единиц.
Кубит (квантовый бит) – это квантовая система с двумя базисными состояниями, которые мы обозначим $\mid 0$ и $\mid 1$. Одно из основных отличий кубита от бита состоит в том, что квантовые объекты могут находиться в состоянии суперпозиции: кроме базисных состояний у системы будет еще и бесконечное количество других возможных состояний, каждое из которых является их линейной суперпозицией (смесью). Второе важное отличие состоит в том, что связь состояния квантовой системы и результатов производимых над ней измерений имеет вероятностный характер: если у бита (проводящего контура) измерить «наличие тока», то измерения в состоянии 1 всегда покажут наличие тока, а в состоянии 0 – всегда отсутствие тока, и других вариантов быть не может. У кубита, находящегося в состоянии суперпозиции базисных состояний $\mid 0$ и $\mid 1$, результаты измерений с некоторой вероятностью $w_{0}$ будут соответствовать состоянию $\mid 0$, и с некоторой вероятностью $w_{1}$ – состоянию $\mid 1$. Так как других базисных состояний нет, то одна из этих вероятностей реализуется обязательно, то есть $w_{0}+w_{1}=1$.
Согласно квантовой теории света, его можно рассматривать как совокупность дискретных «порций» энергии электромагнитного поля – фотонов. Чтобы описать состояние отдельного фотона, нужно задать его частоту $v$ и направление движения (например, единичным вектором $\vec{n}$), а также его состояние поляризации. Частоту и направление движения можно задать вместе с помощью волнового вектора $\vec{k} \equiv {2 \pi} \vec{n}/\lambda={2 \pi}v \vec{n}/c$ (здесь $\lambda$ – длина волны, а $c$ – скорость света). Волновой вектор определяет импульс $\vec{p}=\hbar \vec{k}$ и энергию $\mathcal E=h v=\hbar c|\vec{k}|$ фотона (здесь $\hbar \equiv {h}/{2 \pi} \approx 1.05 \cdot 10^{-34}~ Дж\cdot с$ – постоянная Планка). При каждом значении $\vec{k}$ у классической электромагнитной волны есть два независимых состояния поляризации. Они соответствуют двум возможным взаимно перпендикулярным направлениям вектора $\vec{E}$ напряженности электрического поля в волне (в плоскости, перпендикулярной $\vec{k}$). Например, если $\vec{k}$ направлен вдоль оси $z$, то такая волна может иметь два независимых (базисных) состояния поляризации вдоль осей $x$ и $y$.
Конечно, у волны могут быть и другие состояния поляризации, но их можно получить при помощи наложения (суперпозиции) базисных состояний. Отметим, что при составлении суперпозиции мы можем строить не только другие линейные поляризации (для них вектор $\vec{E}$ в волне направлен вдоль оси, отличающейся от $x$ и $y$, а проекции $\vec{E}$ на базисные оси имеют разные значения, но колеблются синфазно). Путем суперпозиции можно получить также круговые или эллиптические поляризации, при которых проекции вектора $\vec{E}$ на базисные оси совершают колебания со сдвигом по фазе относительно друг друга.
Оказывается, что у отдельного фотона тоже могут быть поляризационные состояния. Для фотона с волновым вектором $\vec{k}=k \cdot \vec{e}_{z}$ также возможны два независимых состояния поляризации: $\mid x$ и $\mid y$. При этом классическая гармоническая электромагнитная волна, поляризованная вдоль оси $x$, состоит из большого числа фотонов в состоянии $\mid x$. Таким образом, если волновой вектор фотона известен (мы направляем вдоль $\vec{k}$ ось $z$), и в опытах с этим фотоном мы измеряем только величины, связанные с поляризацией, то можно считать фотон кубитом с базисными состояниями $\mid x$ и $\mid y$. Кроме того, у фотона могут быть состояния, являющиеся суперпозициями базисных. Для этих состояний измерение поляризации фотона должно с вероятностью $w_{x}$ обнаруживать поляризацию вдоль оси $x$, и с вероятностью $w_{y}=1-w_{x}$ – поляризацию вдоль оси $y$.
Если задаться целью научиться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, можно определить мнимую единицу $i \equiv \sqrt{-1}$, а вслед за ней – множество комплексных чисел $z=x+i y$. В этой записи $x$ и $y$ – два вещественных числа, называемых вещественной и мнимой частью комплексного числа $z$: $x=\operatorname{Re}(z)$, $y=\operatorname{Im}(z)$. Комплексные числа можно перемножать и делить друг на друга, получая снова комплексные числа. Эти операции определяются следующими формулами:$$\begin{gathered}z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}+i y_{2}\right)=\left(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}\right)+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) ,\\\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}.\end{gathered}$$Вообще, с комплексными числами можно проводить любые алгебраические операции. Можно определить на множестве комплексных чисел многие известные вам функции. Например, для экспоненты справедлива формула Эйлера:$$e^{z}=e^{x} \cdot e^{i y}=e^{x} \cdot[\cos \cos (y)+i \cdot \sin (y)]$$Комплексное число $z^{*} \equiv x-i y$ называют сопряженным к числу $z$. Вещественная неотрицательная величина $|z| \equiv \sqrt{z \cdot z^{*}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ называется модулем комплексного числа. С помощью определения фазы $\varphi$ комплексного числа$$\left\{\cos (\varphi) \equiv \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\quad \sin (\varphi) \equiv \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\}$$можно ввести запись комплексного числа, представленного в экспоненциальной форме $z=|z| \cdot e^{i \varphi}$.
Будем называть матрицами $(n \times m)$ прямоугольные таблицы, состоящие из $n$ строк и $m$ столбцов. Например матрица $(2 \times 1)$ – это «двухкомпонентный» столбец $U=\left(\begin{matrix}u_1\\u_2\end{matrix}\right)$, матрица $(1 \times 2)$ – «двухкомпонентная» строка $V=\left(\begin{matrix}v_1&v_2\end{matrix}\right)$, а матрица $(2 \times 2)$ – квадратная матрица $\hat{A}=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right)$. Научимся перемножать матрицы: это делается по правилу «строка на столбец»: произведение матрицы $\hat{A}$ размером $(n \times m)$ на матрицу $\hat{B}$ размером $(m \times l)$ равно матрице $\hat{C}$ размером $(n \times l)$, элементы которой $c_{i j}=\sum_{k=1}^{m} a_{i k} \cdot b_{k j}$. Например, \[\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\cdot 5+2\cdot 6\\3\cdot 5+4\cdot 6\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\39\end{matrix}\right)\]Обратите внимание на то, что перемножать можно не любые матрицы -- число столбцов в первой должно равняться числу строк во второй! Сопряженной к данной матрице $\hat{A}$ назовем матрицу $\hat{A}^{\dagger}$, получаемую перестановкой строк и столбцов и сопряжением всех комплексных чисел: \[ \hat{A}^{\dagger} \equiv\left(\begin{matrix}a^*_{11}&a^*_{12}\\a^*_{21}&a^*_{22}\end{matrix}\right).\] Например,\[\left(\begin{matrix}1&2i\\3&-4i\end{matrix}\right)^\dagger=\left(\begin{matrix}1&3\\-2i&4i\end{matrix}\right),\quad а\quad \left(\begin{matrix}0&6\\0&8i\end{matrix}\right)^\dagger=\left(\begin{matrix}0&0\\6&-8i\end{matrix}\right).\]
Теперь мы готовы описывать поляризационные состояния фотонов как состояния кубита. Договоримся сопоставить состоянию $\mid x$ фотона двухкомпонентный столбец $\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$, а состоянию $\mid y$ – двухкомпонентный столбец $\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$. Тогда произвольная суперпозиция этих состояний описывается столбцом $\alpha(10)+\beta(01)=(\alpha \beta)$, в котором комплексные числа $\alpha$ и $\beta$ связаны условием нормировки $|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$. Это условие имеет физический смысл, так величину $|\alpha|^{2} \equiv w_{x}$ мы считаем вероятностью того, что при измерении поляризации фотона в состоянии суперпозиции будет обнаружено, что он поляризован вдоль оси $x$, и соответственно величину $|\beta|^{2} \equiv w_{y}$ - вероятностью того, что будет обнаружена поляризация вдоль оси $y$. Отметим, что числа $\alpha$ и $\beta$ должны быть именно комплексными потому, что двух вещественных чисел недостаточно для того, чтобы корректно описать наблюдаемые физические явления с участием фотонов.
Множество всех столбцов можно считать двумерным векторным пространством (конечно, необычным: нельзя забывать, что «координаты» $\alpha$ и $\beta$ в этом пространстве – комплексные числа!). Можно определить в этом пространстве скалярное произведение двух «векторов» как $\langle 2\rangle \equiv\left(\begin{matrix}\alpha_{1} &\beta_{1}\end{matrix}\right)^{\dagger} \cdot\left(\begin{matrix}\alpha_{1} \\\beta_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\alpha_{1}^* &\beta_{1}^*\end{matrix}\right) \cdot\left(\begin{matrix}\alpha_{1} \\\beta_{1}\end{matrix}\right)=\alpha_{1}^{*} \alpha_{2}+\beta_{1}^{*} \beta_{2}$. Полезно обратить внимание следующие обстоятельства:
Состояния кубита, описываемые двухкомпонентными столбцами, принято называть «чистыми» состояниями. В самом общем случае вероятность того, что кубит, находящийся в чистом состоянии $\mid 1$, при измерении будет обнаружен в чистом состоянии $\mid 2$, равна $w_{21}=|\langle 1\rangle|^{2}$ . Отметим важное обстоятельство: никакие вероятности, вычисляемые по этой формуле, для нашего чистого состояния не изменятся, если столбец умножить на комплексное число вида $e^{i \varepsilon}$ (с любым вещественным $\varepsilon$ ). Кроме того, при этом остается справедливым и условие нормировки (оба факта следует из того, что $\left|e^{i \varepsilon}\right|^{2}=\cos ^{2}(\varepsilon)+\sin ^{2}(\varepsilon)=1$). Поэтому, экспериментально изучая однофотонное чистое состояние, невозможно установить его «общую фазу». Значит, ее можно выбрать произвольно – например, так, чтобы в столбце число $\alpha$ было вещественным и положительным, и, без ограничения общности, можно считать, что столбец, описывающий некоторое чистое состояние, имеет вид $\left(\alpha|\beta| \cdot e^{i \varphi}\right)$.
Тут самое время вспомнить, что в классической физике бывают не только поляризованные, но и неполяризованные электромагнитные волны. Мы их рассматриваем как смесь некогерентных волн со всеми возможными поляризациями. Могут ли существовать отдельные «неполяризованные фотоны»? Эксперимент показал, что фотоны могут находиться в состоянии, не обладающем вообще никакой определенной поляризацией. В таком состоянии при измерении любых величин, связанных с поляризацией, могут быть с равной вероятностью получены значения, отвечающие любой из линейных поляризаций (вдоль любой оси, перпендикулярной $\vec{k}$).
Аналогия с волнами тут не случайна: вообще все квантовые объекты обладают волновыми свойствами – с ними связывают волны вероятности нахождения их в том или ином состоянии. Эти волны тоже могут не быть когерентными, а в квантовой суперпозиции могут участвовать только когерентные волны. При потере квантовой когерентности получаются поляризационные состояния фотонов, которые нельзя описать никаким столбцом $\left(\begin{matrix}\alpha\\\beta\end{matrix}\right)$, так как столбцу соответствует наложение когерентных волн вероятности. Для некогерентных смесей приходится использовать другой объект - матрицу $(2 \times 2)$: $$ \hat{\rho}=\left(\begin{matrix}\rho_{11}&\rho_{12}\\\rho_{21}&\rho_{22}\end{matrix}\right). $$ Элементы этой матрицы подчинены следующим требованиям: $\rho_{11}+\rho_{22}=1$ и $\rho_{11} \cdot \rho_{22}>\rho_{12} \cdot \rho_{21}$; при этом $\rho_{11}$ и $\rho_{22}$ вещественны и положительны, а $\rho_{12}$ и $\rho_{21}$ – сопряженные по отношению друг к другу ($\rho_{21}=\rho_{12}^{*}$). Эти свойства подобраны для правильного описания физики: в частности $\rho_{11}=w_{x}$ и $\rho_{22}=w_{y}$, так что для вероятностей получаются положительные значения, в сумме равные 1 . Полностью неполяризованное состояние фотона отвечает $\hat{\rho}_{\text {пн }}=\left(\begin{matrix}1/2&0\\0&1/2\end{matrix}\right)$. Состояния кубита, которые нельзя описать двухкомпонентным столбцом, а только матрицей $(2 \times 2)$, принято называть «смешанным». В самом общем случае вероятность того, что кубит, находящийся в смешанном состоянии $\hat{\rho}$, при измерении будет обнаружен в чистом состоянии $\left(\begin{matrix}\alpha\\\beta\end{matrix}\right)$, равна $w=\left(\begin{matrix}\alpha^{*} &\beta^{*}\end{matrix}\right) \hat{\rho}\left(\begin{matrix}\alpha\\\beta\end{matrix}\right)$.
Укажите номера всех матриц $2 \times 2$, которые могут соответствовать смешанному поляризационному состоянию фотона:
Разберем теперь действия, которые мы можем производить над поляризационным состоянием фотона. Они в действительности сводятся к двум возможностям:
Например, можно направить фотонный пучок в среду, которая поворачивает плоскость поляризации фотона на угол, пропорциональный длине пройденного пути. Как в этом случае будет изменяться поляризационное состояние? Если угол поворота $\vartheta(z)=k z$, то состояние $\mid x=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$ должно превратиться в состояние с поляризацией вдоль оси $x^{\prime}$ (см. рисунок), а состояние $\mid y=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$ – в состояние с поляризацией вдоль оси $y^{\prime}$ (как обычно, положительным направлением вращения мы считаем направление против часовой стрелки).
Нетрудно понять, что «новые» состояния можно записать как комбинацию «старых»: $$ \begin{aligned} & \left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)=|x \rightarrow| x^{\prime}=\cos (\vartheta)|x+\sin (\vartheta)| y=\left(\begin{matrix}\cos (\vartheta)\\\sin (\vartheta)\end{matrix}\right)\\ & \left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)=|y \rightarrow| y^{\prime}=\cos (\vartheta)|y-\sin (\vartheta)| x=\left(\begin{matrix}-\sin (\vartheta)\\\cos (\vartheta)\end{matrix}\right) \end{aligned} $$ Видно, что этот переход можно описать как результат действия (то есть умножения) «матрицы поворота плоскости поляризации» на столбец, задающий начальное состояние:\[\hat{U}(\vartheta)=\left(\begin{matrix}\cos (\vartheta)&-\sin (\vartheta)\\\sin (\vartheta)&\cos (\vartheta)\end{matrix}\right).\] Поэтому $\left(\begin{matrix}\cos (\vartheta)\\\sin (\vartheta)\end{matrix}\right)=\hat{U}(\vartheta)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$ и $\left(\begin{matrix}-\sin(\vartheta)\\\cos (\vartheta)\end{matrix}\right)=\hat{U}(\vartheta)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$. Значит, и для любой суперпозиции базисных состояний эволюция этой суперпозиции при прохождении среды, вращающей плоскость поляризации, будет описываться действием $\hat{U}(\vartheta)$ на столбец начального состояния. Точно так же для любой эволюции поляризационного состояния фотона существует соответствующая матрица эволюции $\hat{U}$, действие которой описывает данную эволюцию.
При измерении фотон взаимодействует с измерительным прибором, и это взаимодействие изменяет состояние фотона: прибор «загоняет» фотон в состояние с определенным значением измеренной величины (до измерения фотон мог и не иметь какого-либо определенного значения этой величины). Математическое описание процедуры измерения величин, связанных с поляризацией фотона, тоже производится с помощью матриц $2 \times 2$: каждому измерительному прибору соответствует такая матрица «наблюдаемой» $\hat{F}=\left(\begin{matrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{matrix}\right)$, что допустимые значения измеряемой величины $F$ (их может быть не больше двух, так как у нас всего два независимых поляризационных состояния) определяются из уравнения \begin{equation*} F^{2}-\left(f_{11}+f_{22}\right) F+f_{11} f_{22}-f_{12} f_{21}=0 \tag{1} \end{equation*} Множество допустимых значений «наблюдаемой» называется ее спектром. Отметим, что допустимые значения физической величины должны быть вещественны, и поэтому у матрицы «наблюдаемой» диагональные элементы ($f_{11}$ и $f_{22}$) должны быть вещественными, а недиагональные – сопряженными ($f_{21}=f_{12}^{*}$). Состояния, в которых «наблюдаемая» имеет определенные значения, описываются нормированными столбцами, удовлетворяющими уравнению \begin{equation*} \hat{F}\left(\begin{matrix}\alpha\\\beta\end{matrix}\right)=F\left(\begin{matrix}\alpha\\\beta\end{matrix}\right) \tag{2} \end{equation*} (на самом деле, как нетрудно проверить, уравнение $(1)$ – условие существования ненулевых решений уравнения $(2)$). Как видно, зная матрицу «наблюдаемой», можно с помощью $(1)$ и $(2)$ найти ее допустимые значения $F_{1,2}$ и состояния $\mid F_{1}=\left(\begin{matrix}\alpha_1\\\beta_1\end{matrix}\right)$ и $\mid F_{2}=\left(\begin{matrix}\alpha_2\\\beta_2\end{matrix}\right)$, в которых она их имеет с вероятностью $1$ ($100 \%$). Для любого другого состояния $\mid \psi=\left(\begin{matrix}\alpha\\\beta\end{matrix}\right)$ (в котором эта «наблюдаемая» не имеет определенного значения) при ее измерении могут быть получены те же значения $F_{1,2}$ с вероятностями $w_{1,2}=|\langle\psi\rangle|^{2}$. Зная спектр «наблюдаемой» $F_{1,2}$ и состояния $\mid F_{1,2}$, можно построить ее матрицу с помощью формулы спектрального разложения \begin{equation*} \hat{F}=F_{1} \cdot\left|F_{1}\right| F_{1}^{\dagger}+F_{2} \cdot\left|F_{2}\right| F_{2}^{\dagger} \tag{3} \end{equation*}
A10 Можно изготовить прибор, измеряющий «долю $x$-поляризованного света» $w_{x}$ (ясно, что таким прибором является поляроид, пропускающий только фотоны, поляризованные вдоль оси $x$). Для одиночного фотона эта величина может принимать значения $1$ (в состоянии $\mid x$) и $0$ (в состоянии $\mid y$), а для других состояний $\mid \psi=\left(\begin{matrix}\alpha\\\beta\end{matrix}\right)$ она не имеет определенного значения – ее измерение каждый раз будет давать либо $1$, либо $0$, и эти значения будут выпадать с вероятностями $w_{x}=|\alpha|^{2}$ и $w_{y}=|\beta|^{2}=1-w_{x}$. Постройте матрицу этой «наблюдаемой».
Важно понимать, что измерение «безвозвратно» изменяет состояние кубита – после него мы уже с достоверностью знаем, что кубит находится в конкретном базисном состоянии. Разберем, как это влияет на «волны вероятности». Например, если фотон в чистом состоянии падает на полупрозрачное зеркало, которое не разрушает квантовой когерентности (оставляет его в чистом состоянии), но с вероятностью $50 \%$ пропускает его, и с вероятностью $50 \%$ отражает – это означает, что «волна вероятности» разделилась на прошедшую и отраженную, то есть фотон теперь «вероятностно» существует с обеих сторон зеркала. Если за зеркалом и перед ним стоят детекторы фотонов, то в момент взаимодействия фотона с детектором, в результате которого детектор сообщает наблюдателю, где оказался фотон, происходит «коллапс» волны вероятности - если сработал детектор за зеркалом, то волна вероятности нахождения фотона перед зеркалом мгновенно «исчезла» – теперь вероятность увидеть его перед зеркалом стала равна нулю.
Желаем вам интересной и успешной работы на олимпиаде!