(a) В таблице 1 приведены значения освещенности, измеренные через красный, зеленый и синий фильтры для стандартной лампы накаливания при известных температурах. Выберите подходящие светофильтры и постройте калибровочную кривую, связывающую выбранный цветовой индекс с температурой.
(b) Измерьте зависимость между потребляемой электрической мощностью и температурой вольфрамовой нити. Нанесите результат на график в соответствующем диапазоне.
Теория
Инфракрасный термометр не может быть использован для измерения температуры нити накаливания по нескольким причинам – диапазон ИК-термометра (указанный на приборе) простирается только до $500^{\circ} \mathrm{C}$. Кроме того, нить накаливания слишком мала, чтобы быть единственным измеряемым элементом. ИК-прозрачность стеклянной колбы также не гарантируется. Поэтому единственный способ измерить температуру – косвенно, через цветовой индекс, для которого предусмотрена зависимость от температуры.
Закон смещения Вина предполагает, что при низких температурах свет будет содержать больше красной составляющей, чем зеленой и синей, а при высоких температурах зеленая, а затем синяя будут увеличиваться быстрее, чем красная, что приведет к увеличению соотношений $G / R, B / R$ и $B / G$. Однако необходимо учитывать, какая пара фильтров будет наиболее подходящей.
Значения, измеренные через разные фильтры, зависят от спектральной характеристики каждого фильтра, включая его общую прозрачность. Они также зависят от чувствительности измерителя света к каждой длине волны. Вместо теоретических предсказаний мы получаем эталонные измерения при известных температурах. Если мы построим график соотношений для всех трех пар, то увидим, что $B / G$ является наименее подходящим, так как он гораздо меньше меняется с температурой, чем два других. Соотношения $B / R$ и $G / R$ сравнимы, но синий фильтр имеет меньшее пропускание, что приведет к снижению точности (более высокой относительной погрешности).
Любая пара фильтров может быть выбрана для продолжения измерений, но это повлияет на конечную точность. Также можно усреднить результаты, но использование комбинации $B / G$ все равно может снизить точность конечного результата.
Чтобы использовать график для преобразования цветового индекса в температуру, нам нужна линия тренда. Линейного тренда достаточно, чтобы охватить большую часть диапазона, за исключением более низких температур, где зависимость сужается. Можно расширить диапазон, объединив два тренда по всему диапазону, или нарисовать плавную кривую от руки. Зигзагообразная интерполяция менее пригодна из-за разброса в эталонных измерениях.
Использование абсолютных значений из таблицы вместо соотношений некорректно, так как не указаны собственный световой поток источника света и расстояние измерения.
Эксперимент
Для измерения зависимости температуры от мощности будем считывать напряжение и ток с источника питания. Чтобы получить ожидаемую кривую зависимости $T(P)$, мы должны провести значительное количество измерений, особенно при более низких мощностях, где температура меняется быстрее. Мы предлагаем выбрать не менее 8 мощностей/температур, чтобы более точно охватить зависимость и отличить выбросы от достоверных измерений. Для каждого значения мощности мы должны измерить освещенность через выбранные фильтры, закрыв датчик светоизмерительного прибора фильтром. Покрытие люксметра фильтрует весь свет, включая свет, отраженный от стен и пола, что приводит к более точным измерениям. Размещая фильтр рядом с источником света, вы также рискуете сжечь фильтр. Планируя шаги наперёд, мы можем одновременно измерить освещенность без фильтра, что необходимо в задании 2.
Затем каждый цветовой индекс преобразуется в температуру путем считывания с калибровочного графика. Мы также можем оценить зависимость с помощью закона Стефана-Больцмана, если пренебречь другими потерями и вкладом температуры окружающей среды:
\begin{equation*}
T \propto \sqrt[4]{P} \tag{1}
\end{equation*}По результатам измерений с несколькими лампочками в различных условиях, предполагаемый результат следующим образом
\begin{equation*}
T=\left(1220 \text{КВт}^{-1 / 4} \pm 20 \text{КВт}^{-1 / 4}\right)\sqrt[4]{P}, \tag{2}
\end{equation*}который используется в качестве базового ответа для определения среднеквадратичного значения измерений участников.
Фоновая освещенность должна быть измерена через все фильтры – скорее всего, она равна нулю, но хороший экспериментатор должен проверить, и если она значительна, то должна быть вычтена из измерений. Это также способ определить, не оставили ли участники включенной настольную лампу – если фон значительно отличается от остальных участников.
Расстояние между источником света и измерителем освещенности должно быть достаточно коротким, чтобы обеспечить точные измерения при меньшей мощности. Расстояние также может быть разным для разных диапазонов мощности, но при этом следует соблюдать осторожность, так как может сыграть роль эффект конечного размера нити накаливания, а также меняющиеся отражения от окружающей среды и от верхней части стойки осветителя.
Измерьте зависимость светоотдачи от потребляемой мощности для обоих источников света в диапазоне с обнаруживаемым световым потоком. Зарисуйте результаты, по одному графику для каждого источника света. Укажите все этапы процедуры расчета и представьте все измеренные данные.
Теория
Источники света не излучают во всех направлениях одинаково. Угловое распределение светового потока $\Phi$ (интенсивности света) должно быть проинтегрировано по телесному углу. Люксметр, расположенный на расстоянии $r$ от источника света и ориентированный так, чтобы свет падал на него перпендикулярно, измеряет освещенность $E$ определенной части воображаемой сферы интегрирования, окружающей источник света:
\begin{equation*}
\Phi=\oint E(\Omega) r^{2} \mathrm{ d} \Omega \tag{3}
\end{equation*}Светодиод излучает свет только в полусферу, и имеет цилиндрическую симметрию вокруг направления прямо вперед, поэтому мы можем упростить выражение,
\begin{equation*}
\Phi_{L E D}=2 \pi \int_{0}^{\pi / 2} E(\theta) r^{2} \sin \theta \mathrm{ d} \theta, \tag{4}
\end{equation*}а для лампы накаливания ось симметрии перпендикулярна направлению прямого хода, она светит в полный телесный угол:
\begin{equation*}
\Phi_{W}=4 \pi \int_{0}^{\pi / 2} E(\theta) r^{2} \cos \theta \mathrm{ d} \theta \tag{5}
\end{equation*}Интегралы нужно будет вычислить численно, для этого можно использовать метод трапеций, метод Симпсона или формулу для площади сферического сегмента, приведенную в подсказке:
\begin{equation*}
\Phi=2 \pi r^{2} \sum_{i} E\left(\theta_{i+1 / 2}\right)\left(\cos \theta_{i}-\cos \theta_{i+1}\right)\tag{6}
\end{equation*} и эквивалент (но с $\sin \Longleftrightarrow \cos$) для лампы накаливания. Здесь выбор вычислительных точек в середине интервалов лучше, чем выбор одной из краевых точек. Однако исключением являются «краевые» измерения, где точка измерения фактически находится в середине интервала - точка прямой для светодиода находится в середине сферического колпака. То же самое относится и к «полюсам» лампы накаливания.
Соотношение между напрямую измеренной освещенностью и световым потоком можно выразить как
\begin{equation*}
\Phi=C r^{2} E(0), \tag{7}
\end{equation*}или, что более интуитивно понятно, как поправочный коэффициент для изотропного источника:
\begin{equation*}
\Phi=\{4 \pi, 2 \pi\} \tilde{C} r^{2} E(0)\tag{8}
\end{equation*}
Аналитические расчёты
Один из возможных путей – расчитать эти коэффициенты без измерений, используя разумные предположения о распределении света. Светодиод можно считать плоским излучателем с косинусоидальным распределением светового потока:
\begin{equation*}
\tilde{C}_{L E D}=\frac{\int_{0}^{\pi / 2} \cos \theta \sin \theta \mathrm{ d} \theta}{\int_{0}^{\pi / 2} \sin \theta \mathrm{ d} \theta}=\frac{1}{2} \tag{9}
\end{equation*}, что, как оказалось, хорошо согласуется с экспериментом.
Для лампы накаливания можно сделать аналогичное предположение, основываясь на модели тонкой нити. Другая ориентация оси симметрии приводит к другому результату:
\begin{equation*}
\tilde{C}_{W}=\frac{\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta \mathrm{ d} \theta}{\int_{0}^{\pi / 2} \cos \theta \mathrm{ d} \theta}=\frac{\pi}{4} \approx 0.79 \tag{10}
\end{equation*}
Эти приближения могут быть использованы для улучшения результатов, но не являются обязательными в экспериментальной задаче.
Эксперимент
Чтобы измерить зависимость от угла, необходимо выбрать подходящее расстояние до источника света. Слишком большое расстояние приводит к тому, что показания становится малыми, а любой фон может стать заметным. Рекомендуется измерять угловую зависимость при максимальной мощности, чтобы увеличить соотношение сигнал/фон. Измерения также можно проводить через один из фильтров.
Для лампы накаливания конечный размер нити становится проблемой, если измерять слишком близко к лампе. Это становится заметным на расстоянии менее 10 см. Это не является проблемой для измерения цветового индекса, но имеет значение для оценки абсолютного потока.
Чтобы хорошо описать точку перегиба в распределении света, нам понадобится не менее $5$ измерений в интервале $\theta \in$ $[0, \pi / 2]$. Можно либо вращать источник света на месте, либо расположить измеритель освещенности под разными углами по отношению к неподвижному источнику света.
Для распределения света можно принять симметрию или, наоборот, измерить весь диапазон $\theta \in\left[-90^{\circ}, 90^{\circ}\right]$, что позволит учесть асимметрию и угловое смещение в распределении света. Измерения на оси симметрии сосредоточены в двух симметричных областях, что требует осторожности, чтобы не допустить двойного счета в случае, если интегрируется только половина диапазона, а затем удваивается.
Когда коэффициенты преобразования известны, светоотдачу можно определить, измерив освещенность передней панели при мощности, охватывающей весь диапазон от самой низкой обнаруживаемой освещенности до максимально допустимой мощности. Для лампы накаливания это измерение можно проводить одновременно с выполнением задачи 1, что повышает эффективность использования времени.
$C$ $\tilde C$ $W$ 10.01 0.80 LED 2.63 0.42
Таблица 1: Примерные значения коэффициента преобразования между фронтально измеренной освещенностью и световым потоком для обоих источников света. Значения будут варьироваться в более широких пределах из-за различий в источниках света и других погрешностей, что указано в скобках в таблице градации.
Не требуется измерять на том же расстоянии, что и угловую зависимость. Можно использовать и несколько расстояний.
Мы должны избегать размещения каких-либо дополнительных объектов рядом с источником света, чтобы избежать появления отраженного или блокированного света – например, размещения источника света непосредственно на белой бумаге или наличия других препятствий, таких как экран из черной бумаги или любые фильтры, слишком близко к лампе.
Чтобы построить график эффективности, мы разделили $\Phi$, полученное из ур. (3) для каждого из источников света, на $P=U I$, считанное с источника питания.
Результат показывает, что эффективность лампы накаливания равна нулю при низкой мощности и увеличивается с ростом мощности по мере повышения температуры. Светодиод имеет самую высокую эффективность при самых низких мощностях, затем она падает при более высоких мощностях, в основном из-за повышения температуры светоизлучающего перехода.
При самых низких допустимых токах показания источника питания становятся недостоверными - например, светодиод может слабо светиться даже при токе $0~\text{А}$. Полюс в начале координат можно отнести к этому источнику погрешности.
(a) Определите коэффициент теплопроводности $h$ и теплопроводность $\lambda$ для черного пластика и оцените погрешность. Предположите, что материал поглощает весь полученный свет, а лампа накаливания излучает всю энергию в виде электромагнитного излучения.
(b) Оцените альбедо (доля излучения, которая отражается, а не поглощается) белого пластика и оцените погрешность.
Полезное соотношение: площадь участка сферы радиусом $r$ между полярными углами $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ с $0 \leq$ $\theta_{1} \leq \theta_{2} \leq \pi$ – $\Delta A=2 \pi r^{2}\left(\cos \theta_{1}-\cos \theta_{2}\right)$.
Теория
На пластину попадает плотность лучистого потока $j$, определяемая мощностью $P$ источника света и расстоянием $r$ между пластиной и источником света. Источник света излучает неодинаковое количество света в разных направлениях, поэтому мы должны использовать поправочный коэффициент $C$, полученный в задании 2, для преобразования полного лучистого потока в плотность прямого лучистого потока. \begin{equation*} P=C r^{2} j \rightarrow j=\frac{P}{C r^{2}} . \tag{13} \end{equation*}Не обязательно, но правильно, (численно) проинтегрировать/усреднить по всей пластине, $j\left(\pi r^{2}\right)=$ $P \int C r^{-2} \cos \theta \mathrm{~d} A$ для учета пространственной вариации $C, r$ и $\theta$ (угол падения).
Плотность падающего потока рассеивается в окружающую среду напрямую, а также за счет теплопроводности через пластину. Обозначим через $T_{F}$ температуру передней части пластинки и $T_{B}$ температуру задней части. Сохранение энергии дает нам систему уравнений \begin{align*} j & =h\left(T_{F}-T_{0}\right)+\frac{\lambda}{d}\left(T_{F}- T_{B}\right)\tag{14}\\ 0 & =h\left(T_{B}-T_{0}\right)+\frac{\lambda}{d}\left(T_{B}-T_{F}\right) . \tag{15} \end{align*} Эта система уравнений приводит к следующим соотношениям: \begin{align*} & j=h\left(T_{F}+T_{B}-2 T_{0}\right)\tag{16}\\\ & j=\left(h+2 \frac{\lambda}{d}\right)\left(T_{F}-T_{B}\right) . \tag{17} \end{align*} Любая линейная комбинация уравнений $(14,15)$ также позволяет определить как $h$, так и $\lambda$. Особой линейной комбинацией, которую можно использовать, является выделение отдельных температур: \begin{align*} & T_{F}-T_{0}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{h}+\frac{1}{h+2 \frac{\lambda}{d}}\right) j \tag{18}\\\ & T_{B}-T_{0}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{h+2 \frac{\lambda}{d}}\right) j . \tag{19} \end{align*} В нашей системе $2 \frac{\lambda}{d}>h$, но все еще в том же порядке величины. Рассмотрение углового коэффициента $T_{F}$ как $1 /(2 h)$ или углового коэффициента $T_{F}-T_{B}$ как $(2 \lambda / d)^{-1}$ является разумным приближением, но все же теоретически не корректным.
Оценка погрешностей
Удобнее всего определить погрешности из угловых коэффициентов. Например, если получены коэффициенты $k_{1}=1 / h$ и $k_{2}=1 /(h+$ $2 \lambda / d)$, то погрешности могут быть на как прямым сложением вкладов погрешностей разных членов, так и сложением квадратичных погрешностей (независимых погрешностей), например, \begin{align*} & h=\frac{1}{k_{1}} \pm \frac{\sigma_{1}}{k_{1}^{2}} \tag{20}\\ & \lambda=\frac{d}{2}\left(\frac{1}{k_{2}}-\frac{1}{k_{1}}\right) \pm \frac{d}{2}\left(\frac{\sigma_{1}}{k_{1}^{2}}+\frac{\sigma_{2}}{k_{2}^{2}}\right) \tag{21} \end{align*} и аналогично для других определений угловых коэффициентов.
Альбедо
Для белой пластины поглощается только часть падающего потока, поэтому заменим $j$ на $j(1-a)$, где $a$ – альбедо: \begin{equation*} j=(1-a)\frac{P}{C r^{2}} . \tag{22} \end{equation*}Как следствие, любой наклон, измеренный для обеих пластин, будет находиться в соотношении $(1-a)$ друг к другу. Это можно выразить как долю углового коэффициента графика, отношение разностей температур или что-то подобное.
Эксперимент
Плотность лучистого потока можно изменять двумя основными способами или их комбинацией: изменением расстояния или изменением тока через лампочку. Оба способа приемлемы, но изменение тока также изменяет спектр и эффективность лампочки, поэтому может дать смещенные и нелинейные результаты. Участники должны знать, что правильной процедурой является изменение только одного параметра.
В этом задании необходимо измерить температуру передней и задней панели при разных мощностях для черной и белой пластины. Необходимо дождаться равновесия, то есть стабилизации температуры обратной стороны. Рекомендуется проводить измерения, начиная с наименьшей плотности потока, так как это потребует наименьшего времени установления температуры пластины от начальной комнатной.
Пластина не должна находиться слишком близко к источнику света не только из-за риска обжечься, но и потому, что вблизи лампочки свет очень неравномерно распределяется по пластине. Увеличение скорости конвекции из-за высокой температуры также вносит изменения. Размещение мишени слишком далеко от источника света приводит к незначительному нагреву и, следовательно, к очень большой относительной ошибке в разнице температур, особенно для белой пластины.
В этой части задачи измерения подвержены многим источникам ошибок: измерения с разных расстояний и под разными углами могут включать разные доли фонового или отраженного ИК-излучения от источника света (если целевая область все еще освещена), если измерение длится слишком долго, пластина может начать остывать (это заметно через несколько секунд), воздушные потоки могут увеличить конвективный теплоотвод, а температура окружающей среды также может измениться во время измерения (особенно если источник света расположен слишком близко к стене или если вытяжной вентилятор источника питания находится слишком близко к измерительной установке). Погрешности наиболее заметны при низком лучистом потоке и для белой пластины, где увеличение температуры наименьшее.
По этим причинам рекомендуется проводить более одного измерения для каждой точки данных и усреднять результаты, а также охватывать достаточно широкий диапазон, чтобы уменьшить ошибку коэффициента угла наклона. Для построения графика необходимо не менее 3 точек, но лучше 5. При большем количестве точек легче выявить выбросы и можно использовать измерения, которые меньше всего подвержены ошибкам. Температуры задней и передней панели лучше всего измерять попарно друг за другом, чтобы уменьшить ошибку в значении разности температур из-за изменения условий.
Примечание: температура окружающей среды $T_{0}$ - это эффективная температура, которая объединяет температуру воздуха и радиационный обмен с окружающими стенами, потолком и другими объектами. Нам не нужно ее значение, нам нужны только наклоны линейных трендов. Неточное значение $T_{0}$ может привести к неточностям, если использовать его вместе с предположением, что линейные зависимости проходят через начало координат. $T_{0}$ не может быть надежно определена путем измерения температуры окружающей среды, но ее можно оценить, измерив равновесную температуру пластины в отсутствие источника света.
Измерения температуры передней и задней поверхности при различных лучевых потоках должны быть обработаны и с их помощью построены графики для получения необходимых коэффициентов угла наклона. Для черной пластины потребуются два графика, основанные на уравнениях $(14,15)$, $(16,17)$ или любой линейно независимой паре. Линейный график дает нам коэффициенты углов наклона $h$ и $h+2 \frac{\lambda}{d}$ (или их обратные величины). $T_{0}$ лучше всего определяется по $j=0$ сдвигу графика для (ур. 16) или любого эквивалентного графика, и должно совпадать с $T_{0}$, определенным другими методами. При правильном измерении сдвиг графика для (ур. 17) должен быть нулевым в пределах погрешности.
Можно рассчитать необходимые коэффициенты углов наклона из измерений при одной входной мощности (для каждого цвета пластины), если $T_{0}$ измерена хорошо. Это можно сделать и без графика. Однако использование нескольких измерений уменьшает влияние статистических ошибок и позволяет лучше оценить погрешность, поэтому одно измерение будет нести значительную погрешность.
Альбедо, определяемое в тексте задачи через единицы облученности, невозможно измерить с помощью люксметра, который измеряет в фотометрических единицах. Кроме того, свет, отраженный от белой пластины, вносит дополнительные геометрические соображения и угловое распределение отраженного света, которые невозможно учесть легко.
Альбедо можно оценить как долю соответствующих коэффициентов угла наклона линий между черной и белой пластинами, используя любое из соотношений $(14,15,16,17)$. Это означает, что для белой пластины достаточно измерить только одну сторону пластины, чтобы определить альбедо, предполагая, что $h$ и $\lambda$ остаются неизменными. Разностный коэффициент угла наклона или коэффициент угла наклона по обратной температуре являются наименее подходящими, так как они вносят большую относительную погрешность в измерения из-за минимального увеличения температуры.
