1.1  ^0.40 Нарисуйте схему собранной цепи и подпишите все основные элементы. Вкладом сопротивления соединительных проводов ($R_C$) в общее сопротивление цепи ($R_{\mathrm{TOT}}$) пренебречь нельзя. Определите $R_C$ с помощью омметра.

Последовательная $RLC$-цепь

Чтобы определить $L$ с помощью резонанса, соберём последовательную $RLC$-цепь, как показано ниже. Будем измерять напряжение $V_{S}$ генератора; ток $I$ будем находить, измеряя напряжение на «шунтирующем сопротивлении» $R_{1}=1 ~Ом$: \[I=V_{R_1} / R_{1}\]Для измерения напряжения воспользуемся цифровым осциллографом. Для удобства и быстроты измерений можем закрепить один контакт щупа, например, в точке $1$ и повторять измерения напряжения в точках $2$ и $3$, чтобы измерить напряжение источника $V_{{S}}$ и $V_{R I}$ повторно.

В схеме задействуются провода «банан-пин» (элемент 6). Используя омметр, получаем:

1.2  ^1.20 Определите резонансную частоту RLC-цепи в двух случаях: с конденсаторами $C=470~нФ$ и $2200~мкФ$. Результаты измерений представьте в таблице. Постройте резонансные кривые и определите $L$.

Резонансный последовательный $RLC$-контур

Определяем резонансную частоту, при которой импеданс $Z=V_{S} / I$ достигает минимума или проводимость $G=I / V_{S}$ достигает максимума.

Отметим, что $V_{{S}}$ может меняться из-за изменения импеданса нагрузки. Данные приведены ниже:

Данные для резонансного $RLC$-контура при $C=470~нФ$

$f,~кГц$	$V_S,~В$	$V_{R_1},~В$	$I/V_S,~Ом^{-1}$	$\omega^2,~рад^2/с^2\cdot 10^9$	$Z^2-\dfrac{1}{\omega^2C^2},~Ом^2$
16.3	11.987	0.746	0.06223	10.49	-173.4
21.6	9.133	0.967	0.10588	18.42	-156.6
23.9	4.376	0.616	0.14077	22.55	-150.3
28.4	1.465	0.373	0.25461	31.84	-126.8
31.6	0.799	0.327	0.40926	39.42	-108.9
32.5	0.742	0.32	0.43127	41.70	-103.2
33	2.359	1.187	0.50318	42.99	-101.4
33.8	2.283	1.157	0.50679	45.10	-96.48
35.3	0.685	0.335	0.48905	49.19	-87.85
35.6	2.436	1.149	0.47167	50.03	-85.99
36.7	1.351	0.544	0.40266	53.17	-78.97
37.5	0.894	0.32	0.35794	55.52	-73.74
38.8	1.047	0.316	0.30181	59.43	-65.20
40.6	1.332	0.335	0.2515	65.07	-53.76
43.2	1.922	0.38	0.19771	73.67	-35.86
48	3.235	0.464	0.14343	90.95	-1.16
54.1	7.915	0.822	0.10385	115.5	53.54
64.8	4.719	0.373	0.07904	165.8	132.8

$f_{0}=33800~Гц$, $L=47.17~мкГн$

Данные для резонансного $RLC$-контура при $C=2200~мкФ$

$f,~Гц$	$V_S,~В$	$V_{R_1},~В$	$I/V_S,~Ом^{-1}$	$\omega^2,~рад^2/с^2\cdot 10^{6}$	$Z^2-\dfrac{1}{\omega^2C^2},~Ом^2$
20	4.034	0.936	0.23203	0.0158	5.49
31	5.099	1.674	0.3283	0.0379	3.83
53	5.023	2.207	0.43938	0.111	3.32
79	4.833	2.474	0.5119	0.246	2.98
109	4.795	2.55	0.5318	0.469	3.095
228	4.643	2.835	0.6106	2.05	2.581
282	4.643	2.892	0.62287	3.14	2.512
305	4.643	2.852	0.61426	3.67	2.594
328	4.643	2.854	0.61469	4.25	2.598
369	4.643	2.854	0.61469	5.38	2.608
463	4.567	2.854	0.62492	8.46	2.536
570	4.567	2.816	0.6166	12.83	2.614
710	4.49	2.816	0.62717	19.90	2.532
877	4.414	2.74	0.62075	30.36	2.588
1070	4.338	2.664	0.61411	45.20	2.647
1390	4.186	2.55	0.60917	76.27	2.692
1730	4.034	2.397	0.5942	118.1	2.831
2170	3.844	2.207	0.57414	185.9	3.032
3030	3.539	1.903	0.53772	362.4	3.458
4360	3.254	1.522	0.46773	750.4	4.571

$f_{0}=400~Гц$, $L=71.96~мкГн$

Резонансная частота равна $\omega_{0}=1 / \sqrt{L C}$, таким образом $L=1 / \omega_{0}{ }^{2} C$. Отметим, что данные по резонансу для $C=470 ~нФ$ являются хорошими и резкими и дают правильное значение $L=47.2 ~мкГн$, в то время как данные для $C=2200 ~мкФ$ показывают широкий и слабый резонанс, что дает неточное значение $L=72 ~мкФ$. Это происходит потому, что для последовательного $RLC$-контура добротность ($Q$) определяется как: $Q=\sqrt{L / C} / R$, поэтому меньшая емкость дает большую добротность и более резкую резонансную кривую.

1.3  ^0.50 В предыдущем пункте для одного из конденсаторов резонансная кривая непригодна для точного определения $L$. Предложите линеаризацию, позволяющую определить $L$ и $R_L$из экспериментов с последовательными RLC-цепями.

Альтернативный способ определения $L$ и $R_{L}$

Выражаем импеданс цепи: \begin{align*}
& Z=R_{T}+j(\omega L-1 / \omega C), \tag{1}\\\
& Z^{2}=R_{T}{ }^{2}+(\omega L-1 / \omega C)^{2}=R_{T}{ }^{2}+\omega^{2} L^{2}-2 L / C+1 / \omega^{2} C^{2}, \tag{2}\\\
& Z^{2}-1 / \omega^{2} C^{2}=\left(R_{T}{ }^{2}-2 L / C\right)+\omega^{2} L^{2} \tag{3}
\end{align*}где полное сопротивление равно: $R_{T}=R_{1}+R_{C}+R_{L}$, причем $R_{{L}}$ – внутреннее сопротивление катушки. Можем линеаризовать последнее уравнение как $y=a+b x$, где $y=Z^{2}-1 / \omega^{2} C^{2}$, $x=\omega^{2}$, $b=L^{2}$ и $a=R_{T}^{2}-2 L / C$.

1.4  ^1.40 Повторите эксперимент, используя два других конденсатора: $C=470~мкФ$ и $1000~мкФ$. Запишите данные измерений. Исследуйте необходимый диапазон частот и постройте линеаризованные графики для всех четырёх конденсаторов.

Определение $L$ и $R_{{L}}$ для ${C}=470 ~{мкФ}$ и $C=1000~ мкФ$

Измерения при $C=470 ~мкФ$

$f,~Гц$	$V_S,~В$	$V_{R_1},~В$	$\omega^2,~10^6~рад^2/с^2$	$Z^2-\dfrac{1}{\omega^2C^2},~Ом^2$
481	7.516	3.844	9.134	3.3274
635	7.326	3.996	15.92	3.07673
810	7.23	4.034	25.90	3.03744
946	7.04	4.034	35.33	2.91747
1090	6.945	3.958	46.90	2.98237
1280	6.65	3.844	64.68	2.9228
1500	6.469	3.729	88.83	2.9585
2140	5.994	3.311	180.8	3.25225
2550	5.708	3.082	256.7	3.41243
3220	5.233	2.664	409.3	3.84757
3810	4.947	2.474	573.1	3.99048

Измерения при $C=1000 ~мкФ$

$f,~Гц$	$V_S,~V$	$V_{R_1},~V$	$\omega^2,~10^6~рад^2/с^2$	$Z^2-\dfrac{1}{\omega^2C^2},~Ом^2$
362	7.154	4.172	5.173	2.74712
463	7.116	4.11	8.463	2.87954
538	7.04	4.11	11.43	2.8465
649	6.964	4.11	16.63	2.81087
761	6.866	4.072	22.86	2.79936
839	6.812	4.034	27.79	2.81554
959	6.736	3.958	36.31	2.86882
1270	6.507	3.805	63.67	2.9088
1860	6.013	3.387	136.6	3.14443
2550	5.518	2.968	256.7	3.4526
3760	4.871	2.359	558.1	4.26185
4690	4.567	2.055	868.4	4.93784

Рассчитаем $L$ и $R_{{L}}$, которые можно получить как:
$$
\begin{gather*}
L=\sqrt{b} \tag{4}\\\
R_{L}=\sqrt{a+2 L / C}-R_{1}-R_{C}\tag{5}
\end{gather*}
$$Результаты приведены в таблице ниже:

$C,~мкФ$	$a,~Ом^2$	$b,~10^{-9}~Гн^2$	$L,~мкГн$	$R_L,~Ом$
0.47	-188.6	2.019	44.93	0.524
470	2.813	2.228	47.20	0.646
1000	2.787	2.529	50.29	0.609
2200	2.503	2.737	52.32	0.507

Получаем среднее значение: $L=48.7 ~мкГн$ и среднее сопротивление катушки: $R_{{L}}=0.57~ Ом$. Это соответствует оригинальному номиналу катушки Wurth Elektronik 760308101303: $L=47 ~мкГн$ и $R_{{L}}=0.46~ Ом$.

Поэтому второй метод более точно определяет $L$ даже в том случае, когда резонанс слабый. $R_{{L}}$ определяется менее точно, так как находится из свободного члена аппроксимирующей зависимости.

Измерение $R_{L}$ непосредственно с помощью мультиметра для проверки также допустимо: $R_{L}=(0.47 \pm 0.03) ~Ом$.

1.5  ^1.00 Определите $R_L$ и $L$ во всех четырёх экспериментах. Рассчитайте их средние значения.

2.1  ^0.40 Нарисуйте схему измерений для определения коэффициента взаимной индукции катушек.

Взаимная индукция

2.2  ^1.00 Проведите измерения $M$ дважды, меняя катушки ролями. Запишите данные и постройте необходимые графики для каждой конфигурации.

Измерение взаимной индуктивности

Проведем измерения дважды. Сначала первичной является катушка $1$, а вторичной – катушка $2$, а затем катушки меняются местами.\begin{gather*}
V_{2}=-M \frac{\mathrm d i_{1}}{\mathrm d t}+L_{2} \frac{\mathrm d i_{2}}{\mathrm d t}=-M \frac{\mathrm d i_{1}}{\mathrm d t} \tag{6}\\\
Z^{\prime}=\frac{V_{2}}{I_{1}}=-i \omega M \tag{7}
\end{gather*}Вклад самоиндукции пренебрежимо мал, так как вторая катушка подключена к вольтметру и $i_{2} \sim0$. $M$ можно найти, измерив зависимость импеданса $Z=V_{2} / I_{1}$ от частоты.

Определение взаимной индуктивности (первичная – катушка $1$, вторичная – катушка $2$)

$f,~Гц$	$I_1,~А$	$V_2,~В$	$Z,~Ом$
1020	3.539	0.096	0.02713
1990	3.082	0.184	0.0597
3000	2.588	0.241	0.09312
4040	2.131	0.278	0.13046
5010	1.827	0.295	0.16147
6000	1.617	0.312	0.19295
7010	1.427	0.32	0.22425
8060	1.256	0.342	0.27229
9140	1.104	0.35	0.31703
10100	1.012	0.358	0.35375

Определение взаимной индуктивности (первичная – катушка $2$, вторичная – катушка $1$)

$f,~Гц$	$I_2,~А$	$V_1,~В$	$Z,~Ом$
1010	3.52	0.136	0.03864
2000	3.006	0.2	0.06653
3000	2.512	0.27	0.10748
4000	2.112	0.299	0.14157
5000	1.808	0.316	0.17478
6060	1.56	0.337	0.21603
7020	1.355	0.339	0.25018
8060	1.21	0.358	0.29587
9010	1.104	0.369	0.33424
10200	0.997	0.373	0.37412

2.3  ^0.40 Определите коэффициент взаимной индукции $M$ для каждой конфигурации.

Аппроксимируем зависимость прямой $y=a+b x$. Выразим взаимную индуктивность $M=b / 2 \pi$ и получим достаточно близкие результаты двух серий измерений $M_{1}=5.67~ мкГн$ и $M_{2}=5.90~ мкГн$ со средним значением:

2.4  ^5.50 Предложите метод измерений и проведите эксперимент для определения $n$ (ответ округлите до целого значения) для каждого из металлов. Запишите необходимые уравнения. Необязательно строить графики для промежуточных вычислений, например, вы можете использовать МНК. Приведите результаты измерений и постройте окончательные графики, чтобы получить значения $n$ и $\sigma$ (значение проводимости потребуется в пункте 2.6).

Определите один металл, для которого результаты измерений оказываются плохими из-за малой глубины скин-слоя. В пунктах 2.5 и 2.6 не нужно обрабатывать данные для выбранного металла.

Определение глубины скин-слоя

Теоретическая модель для определения $n$

Для каждого металла проведем измерения напряжения на вторичной обмотке (катушка $1$) после прохождения через металлы, которое пропорционально $B$: \begin{equation*} V_{2} \sim B(z)=B_{0} \exp (-z / \delta)=B_{0} \exp \left(-N t_{0} / \delta(f)\right),\tag{8} \end{equation*} где $t_{0}$ – толщина металла, а $N$ – его количество. Поэтому мы ожидаем, что напряжение на вторичной обмотке будет падать на большем количестве металлических пластин. Поэтому можем выразить глубину скина при частоте $f$: \begin{equation*} \ln V_{2}=-t_{0} / \delta(f)\times N+c_{0}, \tag{9} \end{equation*} где $c_{0}$ – константа, которой можно пренебречь. Выражаем глубину скин-слоя при частоте $f$: \begin{equation*} \delta(f)=-t_{0} / b_{1}, \tag{10} \end{equation*} где $b_{1}$ – наклон графика $\ln \left(V_{2}\right)(N)$.

Затем повторим этот анализ на разных частотах, используя уравнение $(2)$ из условия: \begin{equation*} \ln \delta=\frac{n}{2} \ln f+\frac{\ln \left(\sigma^{m} / \pi \mu\right)}{2} \tag{11} \end{equation*} Аппроксимируя прямой $y=a_{2}+b_{2} x$ зависимость $\ln \delta(\ln f)$, получим: \begin{equation*} n=2 \frac{\Delta \ln \delta}{\Delta \ln f}=2 b_{2} \tag{12} \end{equation*}

Подадим переменный ток на катушку $1$ и измеряем индуцированное напряжение на катушке $2$, продолжая добавлять металлические кусочки. Напряжение на катушке $2$ пропорционально магнитному полю, создаваемому катушкой $1$ после ослабления металлическими элементами.

Перед получением данных участник должен проверить первый диапазон соответствующих частот. Результаты показаны ниже.

Алюминий

Определение глубины скин-слоя для $\mathrm{Al}$ (исходные данные)

$V_2,~В$

$N$	1	2	3	4	5
$f,~Гц$
1010	0.103	0.068	0.053	0.046	0.037
1520	0.114	0.084	0.064	0.05	0.036
2010	0.129	0.081	0.057	0.046	0.036
2660	0.129	0.081	0.054	0.043	0.031
3140	0.16	0.093	0.063	0.046	0.034
3540	0.16	0.107	0.08	0.049	0.034
4000	0.169	0.091	0.063	0.04	0.02
4520	0.335	0.167	0.099	0.065	0.034

$\ln(V_2~[В])$

$N$	1	2	3	4	5
$f,~Гц$
1010	-2.273	-2.688	-2.937	-3.079	-3.297
1520	-2.172	-2.477	-2.749	-2.996	-3.324
2010	-2.048	-2.513	-2.865	-3.079	-3.324
2660	-2.048	-2.513	-2.919	-3.147	-3.474
3140	-1.833	-2.375	-2.765	-3.079	-3.381
3540	-1.833	-2.235	-2.526	-3.016	-3.381
4000	-1.778	-2.397	-2.765	-3.219	-3.912
4520	-1.094	-1.790	-2.313	-2.733	-3.381

Определение глубины скин-слоя для $\mathrm{Al}$ (нахождение показателя степени $n$ и проводимости $\sigma$)

$f,~Гц$	$\mathrm d\ln V_2/\mathrm dN$	$\delta,~мм$	$\ln (f~[Гц])$	$\ln(\delta~[м])$
1010	-0.2439	2.99303	6.918	-5.811
1520	-0.2824	2.58499	7.326	-5.958
2010	-0.3118	2.34094	7.606	-6.057
2660	-0.3485	2.09475	7.886	-6.168
3140	-0.3802	1.92026	8.052	-6.255
3540	-0.4395	1.66091	8.172	-6.400
4000	-0.5090	1.4341	8.294	-6.547
4520	-0.5519	1.32267	8.416	-6.628

Медь

Определение глубины скин-слоя для $\mathrm{Cu}$ (исходные данные)

$V_2,~В$

$N$	1	2	3	4	5
$f,~Гц$
990	0.074	0.043	0.034	0.026	0.02
1520	0.074	0.043	0.031	0.02	0.014
2030	0.083	0.04	0.023	0.02	0.011
2510	0.083	0.043	0.029	0.017	0.011
3000	0.091	0.041	0.022	0.014	0.01
4000	0.099	0.046	0.026	0.012	0.008

$\ln(V_2~[В])$

$N$	1	2	3	4	5
$f,~Гц$
990	-2.604	-3.147	-3.381	-3.650	-3.912
1520	-2.604	-3.147	-3.474	-3.912	-4.269
2030	-2.489	-3.219	-3.772	-3.912	-4.510
2510	-2.489	-3.147	-3.540	-4.075	-4.510
3000	-2.397	-3.194	-3.817	-4.269	-4.605
4000	-2.313	-3.079	-3.650	-4.423	-4.828

Определение глубины скин-слоя для $\mathrm{Cu}$ (нахождение показателя степени $n$ и проводимости $\sigma$)

$f,~Гц$	$\mathrm d\ln V_2/\mathrm dN$	$\delta,~мм$	$\ln (f~[Гц])$	$\ln(\delta~[м])$
990	-0.3120	2.244	6.898	-6.100
1520	-0.4095	1.709	7.326	-6.372
2030	-0.4735	1.478	7.616	-6.517
2510	-0.4970	1.408	7.828	-6.565
3000	-0.5491	1.275	8.006	-6.665
4000	-0.6375	1.098	8.294	-6.814

SS304

Определение глубины скин-слоя для $\mathrm{SS304}$ (исходные данные)

$V_2,~В$

$N$	1	2	3	4
$f,~кГц$
15.0	0.61	0.46	0.39	0.34
20.0	0.647	0.571	0.411	0.342
25.0	0.723	0.51	0.392	0.327
30.1	0.761	0.518	0.403	0.331
35.0	0.79	0.53	0.4	0.31
40.0	1.134	0.715	0.525	0.411
45.8	1.18	0.731	0.54	0.42
51.2	0.525	0.297	0.217	0.194

$\ln(V_2~[В])$

$N$	1	2	3	4
$f,~кГц$
15.0	-0.4943	-0.7765	-0.9416	-1.079
20.0	-0.4354	-0.5604	-0.8892	-1.073
25.0	-0.3243	-0.6733	-0.9365	-1.118
30.1	-0.2731	-0.6578	-0.9088	-1.106
35.0	-0.2357	-0.6349	-0.9163	-1.171
40.0	0.1258	-0.3355	-0.6444	-0.8892
45.8	0.1655	-0.3133	-0.6162	-0.8675
51.2	-0.6444	-1.214	-1.528	-1.640

Определение глубины скин-слоя для $\mathrm{SS304}$ (нахождение показатель степени $n$ и проводимости $\sigma$)

$f,~Гц$	$\mathrm d\ln V_2/\mathrm dN$	$\delta,~мм$	$\ln (f~[Гц])$	$\ln(\delta~[м])$
15000	-0.1919	3.752	9.616	-5.586
20000	-0.2242	3.212	9.903	-5.741
25000	-0.2644	2.723	10.13	-5.906
30100	-0.2750	2.618	10.31	-5.945
35000	-0.3087	2.332	10.46	-6.061
40000	-0.3354	2.147	10.60	-6.144
45800	-0.3402	2.116	10.73	-6.158
51200	-0.3301	2.181	10.84	-6.128

SS410

Определение глубины скин-слоя для $\mathrm{SS410}$ (исходные данные)

$V_2,~В$

$N$	1	2	3	4	5
$f,~Гц$
843	0.68	0.61	0.53	$-$	$-$
1070	0.02	0.02	0.02	$-$	$-$
2210	0.99	0.84	0.76	$-$	$-$
43200	0.753	0.571	0.441	$-$	$-$
60000	0.36	0.2	0.14	0.1	0.07

$\ln(V_2~[В])$

$N$	1	2	3	4	5
$f,~Гц$
843	-0.3857	-0.4943	-0.6349	$-$	$-$
1070	-3.912	-3.912	-3.912	$-$	$-$
2210	-0.01005	-0.1744	-0.2744	$-$	$-$
43200	-0.2837	-0.5604	-0.8187	$-$	$-$
60000	-1.022	-1.609	-1.966	-2.303	-2.659

Определение глубины скин-слоя для $\mathrm{SS410}$ (нахождение показателя степени $n$ и проводимости $\sigma$)

$f,~Гц$	$\mathrm d\ln V_2/\mathrm dN$	$\delta,~мм$	$\ln (f~[Гц])$	$\ln(\delta~[м])$
843	-0.1246	6.100	6.737	1.808
1070	$-$	$-$	6.975	$-$
2210	-0.1322	5.750	7.701	1.749
43200	-0.2675	2.841	10.674	1.044
60000	-0.3968	1.915	11.002	0.650

Отметим, что $\mathrm{SS410}$ ведет себя не так, как остальные образцы, выходной сигнал $V_{2}$ сильно падает при вставке металлов. Согласно результатам измерений на этом образце, $n=-0.5$, что не соответствует действительности.

По-видимому, из-за того, что $\mathrm{SS410}$ ферромагнитный, глубина скин-слоя для него слишком мала, и почти никакое магнитное поле не может проникнуть в металл, и краевое поле вокруг металла становится доминирующим, а измерение глубины скин-слоя дает некорректные результаты. Таким образом, $\mathrm{SS410}$ является металлом с «экстремальной глубиной скин-слоя» и исключается из последующего анализа.

Ниже приведено описание эксперимента по измерению глубины скин-слоя:

Краткие результаты эксперимента по определению глубины скин-слоя ($\varepsilon_\sigma$ – отклонение измеренной проводимости по сравнению с табличными значениями $\sigma_0$)

	$a$	$b$	$n$	$\sigma,~10^6~(Ом\cdot м)^{-1}$	$\sigma_0,~10^6~(Ом\cdot м)^{-1}$	$\varepsilon_\sigma,~$%
$\mathrm{Al}$	-2.327	-0.496	-0.992	26.2	37.0	-28.1
$\mathrm{Cu}$	-2.708	-0.494	-0.988	57.0	58.8	-3.1
$\mathrm{SS304}$	-0.991	-0.481	-0.962	1.84	1.39	32.3

Заметим, что на всех трех металлах полученный показатель степени для частоты примерно сходится, среднее значение $n=-0.98$, таким образом, округляем его до ближайшего целого числа:

Альтернативное решение для анализа глубины скин-слоя

Для эксперимента с глубиной скин-слоя мы также можем проанализировать задачу в рамках линеаризации одной зависимости вместо двух, как показано ниже: \begin{equation*} \ln \left[\ln \left(\frac{V_{i}}{V_{i+1}}\right)\right]=-\frac{n}{2} \ln f+\frac{1}{2} \ln \left(\pi \sigma \mu t_{0}^{2}\right),\tag{26} \end{equation*} где $i$ – номер пластины, используемой в эксперименте. Проводимость может быть получена из изменения свободного члена $a$ при добавлении одной пластины: \begin{equation*} \sigma=\exp (2 a) / \pi \mu t_{0}^{2} \tag{27} \end{equation*} Таким образом, можно провести эксперимент с добавлением одной пластины. Пример данных показан ниже:

Участник может провести всего два измерения, например, $V_{2}$ с металлом $N=1$ и $N=2$. Таким образом, получаем $n=-1,2 \sim-1$, и $\sigma=1,0 \times 10^{7} \mathrm{~(Ом\cdot м)^{-1}} $ ($-73 \,\%$ ошибки от точного значения). Как видно, что этот метод менее точен, так как в нём используется меньшее количество данных по сравнению с методом, задействующим две линеаризации, в котором используется, например, ${N}=5 \times 5$ частот.

2.5  ^0.20 Используя метод размерностей, определите показатель степени $m$.

Коэффициент показателя степени $m$ для проводимости

Ранее было получено $n=-1$, поэтому из уравнения $(2)$ в условии задачи:\begin{equation*}
\delta^{2}=\frac{\sigma^{m}}{\pi \mu f} \quad \text {или} \quad[\sigma]^{m}=[\delta]^{2}[\mu][f] \tag{14}
\end{equation*}Используя метод размерностей, получим систему уравнений:\[\begin{aligned}&[\sigma]=1 / (Ом \cdot \mathrm{м})=\mathrm{А} / (\mathrm{В} \cdot\mathrm{м}),\\\ &[\delta]=\mathrm{м},\\\ &[\mu]=\mathrm{Гн} / \mathrm{м}=\mathrm{В} \cdot \mathrm{с} / (\mathrm{А} \cdot \mathrm{м})\end{aligned}\] и $[f]=1 / \mathrm{с}$, имеем:\begin{equation*}
[\mathrm{А} / (\mathrm{В} \cdot \mathrm{м})]^{m}=[\mathrm{м}]^{2}[\mathrm{В} \cdot \mathrm{с} / (\mathrm{А} \cdot \mathrm{м})][1 / \mathrm{с}]=[\mathrm{В} \cdot \mathrm{м} / \mathrm{А}] \tag{15}
\end{equation*}Таким образом, получаем

и окончательная формула глубины скин-слоя выглядит так:\begin{equation*}
\delta=\frac{1}{\sqrt{\pi \sigma \mu f}} \tag{16}
\end{equation*}

2.6  ^0.60 Определите $\sigma$ для трёх металлов, для которых в 2.4 получены хорошие результаты измерений.

Проводимость (с использованием $m=-1$, как определено в 2.5) выражается как: \begin{equation*} \sigma=\frac{\exp \left(-2 a_{2}\right)}{\pi \mu} \tag{13} \end{equation*}

Из полученных данных видно, что измеренная проводимость достаточно хорошо согласуется с табличными значениями (в пределах $\pm30\, \%$ погрешности). Большая погрешность объясняется тем, что результаты получены из величины, которая экспоненциально зависит от измеренных величин [уравнение $(13)$].

3.1  ^0.20 Нарисуйте схему, иллюстрирующую принцип работы индукционной плиты. Укажите все существенные физические величины.

Принцип работы индукционной плиты

Принцип действия: переменный ток, подаваемый на катушку, создает переменное магнитное поле, индуцирующее вихревые токи в пластине, из-за чего в пластине происходит выделение Джоулева тепла.

3.2  ^0.50 Предложите метод, позволяющий определить удельную теплоемкость ($c$) металлических пластин. Запишите необходимые уравнения.

Удельная теплоемкость металлической пластины

Определим удельную теплоемкость металлической пластины. Согласно закону сохранения энергии, полная мощность, подводимая к пластине, равная скорости её нагрева и мощности излучения. Конвективными потерями пренебрежём, как указано в условии. \begin{equation*} P_\mathrm{in}=m c \,\mathrm d T /\mathrm d t+e A \sigma_{S}\left(T^{4}-T_{0}^{4}\right)\tag{17} \end{equation*} где $m$ – масса пластины, $c$ – удельная теплоемкость, $T$ – температура плиты, $T_{0}$ – температура окружающей среды, $e$ – излучательная способность, $A$ – площадь поверхности излучающего тела и $\sigma_{\mathrm{S}}$ – постоянная Стефана–Больцмана.

Сначала нужно нагреть пластину, а затем отключить питание, чтобы дать ей остыть. В процессе остывания: \begin{equation*} T^{4}=-\frac{m c}{e A \sigma_{S}} \frac{\mathrm d T}{\mathrm d t}+T_{0}^{4}=-\frac{\rho c t_{0}}{2 e \sigma_{S}} \frac{\mathrm d T}{\mathrm d t}+T_{0}^{4} \tag{18} \end{equation*} Отметим, что коэффициент $2$ получается из того, что площадь, с которой происходит излучение, в два раза больше площади одной стороны пластины, т.е. $A=2 W L$, где $W$ и $L$ – ширина и длина пластины, $t_{0}$ – толщина металла. Линеаризуем эту зависимость $y=a+b x$, где $x$ – это $\mathrm{d} T / \mathrm{d} t$, а $y$ – $T^{4}$, тогда можно пренебречь влиянием $T_{0}$.

Удельная теплоемкость может быть рассчитана как: \begin{equation*} c=-\frac{2 e \sigma_{S} b}{\rho t_{0}} \tag{19} \end{equation*} Примечание. Можно решить дифференциальное уравнение $(18)$, но для этого необходимо знать начальную температуру $T_{0}$, которая может меняться при повторных экспериментах, поэтому такое решение нецелесообразно.

3.3  ^1.50 Проведите эксперимент для определения удельной теплоемкости алюминиевой пластины и постройте соответствующие графики. Используйте катушку #2 для нагревания пластины.

Удельная теплоемкость алюминиевой пластины

Измерим теперь сопротивление термистора ($R_{\mathrm{NTC}}$) и вычисляем температуру пластины $T$, используя уравнение $(4)$ из условия. В частности, нам нужно вывести:\begin{equation*}
T=\left[\frac{\ln \left(R / R_{0}\right)}{B}-\frac{1}{T_{0}}\right]^{-1} \tag{20}
\end{equation*}Для полноты картины мы записали температуру окружающей среды $T=306.5 {~К}=33.35 \,{}^\circ\mathrm{C}$, но это не влияет на последующий анализ. Мы можем вычислить производную $\mathrm{d} T / \mathrm{d}t$ в точке $n$ численно следующим образом:\begin{equation*}
\frac{\mathrm d T_{n}}{\mathrm d t}=\frac{T_{n+1}-T_{n-1}}{t_{n+1}-t_{n-1}} \tag{21}
\end{equation*}Будем нагревать пластину примерно в течение 1 минуты, пока температура не достигнет $325.4{~К}$ ($52.3\,{}^{\circ} \mathrm{C}$), что обозначим за $t=0 {~с}$ и запишем сопротивление NTC в зависимости от времени по мере остывания пластины. После этого состряпаем на сковороде следующие точки:

$t,~с$	$R_{\mathrm{NTC}},~кОм$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~К/с$	$T^4,~10^9~К^4$
$-$	6.97	306.5	$-$	$-$
0	3.302	325.4	$-$	11.21
20	3.532	323.6	-0.085	10.96
40	3.753	322.0	-0.075	10.75
60	3.961	320.6	-0.0625	10.56
80	4.123	319.5	-0.06	10.42
100	4.334	318.2	-0.0575	10.26
120	4.513	317.2	-0.0475	10.12
140	4.667	316.3	-0.0425	10.02
160	4.818	315.5	-0.0375	9.914
180	4.957	314.8	-0.0325	9.824
200	5.086	314.2	-0.03	9.744
220	5.204	313.6	-0.0275	9.673
240	5.318	313.1	-0.025	9.607
260	5.426	312.6	-0.0225	9.546
280	5.519	312.2	-0.0225	9.495
300	5.611	311.7	-0.02	9.445
320	5.694	311.4	-0.015	9.402
340	5.771	311.1	-0.0175	9.362
360	5.844	310.7	$-$	9.325

Используя уравнение $(19)$, $e=0.65$, $\rho=2700 \mathrm{~кг} / \mathrm{м}^{3}$, $t_{0}=0.71 \mathrm{~мм}$, получаем коэффициент наклона $b=-2.317 \times 10^{10}~К^3\cdot с$ и удельную теплоёмкость:

Табличное значение $c_{\mathrm{Al}}=900 \mathrm{~Дж} / (\mathrm{кг} \cdot \mathrm{К})$.

Примечание. В этой задаче значение излучательной способности $e$ выбрано близким к эталонному значению $c$.

3.4  ^1.50 Повторите пункт 3.3 для пластины из сплава SS410.

Удельная теплоемкость пластины из $\mathrm{SS410}$

$t,~с$	$R_{\mathrm{NTC}},~кОм$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~К/с$	$T^4,~10^9~К^4$
$-$	6.97	306.5	$-$	$-$
0	5.917	310.4	$-$	9.289
20	6.224	309.2	-0.0575	9.142
40	6.51	308.1	-0.04	9.015
60	6.664	307.6	-0.0225	8.949
80	6.781	307.2	-0.0175	8.901
100	6.849	306.9	-0.0125	8.873
120	6.902	306.7	-0.0075	8.852
140	6.927	306.6	-0.005	8.842
160	6.957	306.5	-0.0025	8.830
180	6.984	306.5	$-$	8.820

Заметим, что иногда, как в случае $\mathrm{SS410}$, исходные данные не ложатся на прямую, поскольку система не достигла стационарного состояния, поэтому мы проводим анализ только линейного участка, как и ожидалось от модели.

Используя уравнение $(19)$, $e=0.8$, $\rho=7700 \mathrm{~кг} / \mathrm{м}^{3}$, $t_{\mathrm{M}}=0.75 \mathrm{~мм}$, находим коэффициент наклона $b=-2.544 \times 10^{10}~К^3\cdot с$ и удельную теплоёмкость:

Табличное значение $c_{\mathrm{SS410}}=460 \mathrm{~Дж} / (\mathrm{кг} \cdot \mathrm{К})$.

3.5  ^1.60 Предложите метод измерений и проведите эксперимент, чтобы определить $R_{\mathrm{LOAD}}$ для алюминиевой пластинки. Постройте график.

Совет: Начните измерять примерно через 30 секунд после включения напряжения, чтобы мощность нагрева установилась, а тепло распределялось более равномерно.

Определение $R_\mathrm{LOAD}$ алюминиевой пластины

Теперь предположим, что пластина эквивалентна «сопротивлению нагрузки» в первичной цепи. Мощность, подведенная к металлической пластине, увеличивает её температуру, а также излучается в окружающее пространство:\begin{equation*} P_\mathrm{in}=I^{2} R_\mathrm{L O A D}=m c \,\mathrm d T /\mathrm d t+e A \sigma_{S}\left(T^{4}-T_{0}^{4}\right)\tag{22} \end{equation*}Для дальнейшего анализа мы можем использовать систему:\begin{align*} & m c \,\mathrm d T /\mathrm d t+e A \sigma_{S} T^{4}=I^{2} R_\mathrm{L O A D}+e A \sigma_{S} T_{0}^{4} \tag{23}\\ & P_\mathrm{tot}^{\prime}=P_{C}+P_\mathrm{rad}^{\prime}=I^{2} R_\mathrm{L O A D}+P_\mathrm{rad, 0}, \tag{24} \end{align*} где: $P_{C}=m c \, \mathrm d T /\mathrm d t$, $P^{\prime}_\mathrm{rad}=e A \sigma_{S} T^{4}$ и $P_\mathrm{rad, 0}=e A \sigma_{S} T^{4}$.

Аппроксимируем экспериментальные данные прямой $P_{\mathrm{tot}}(I^{2})$, следуя линейному уравнению: $y=a+b x$, где: $y=P'_\mathrm{tot}$, $x=I^{2}$, $b=R_\mathrm{L O A D}$ и $a=P_\mathrm{rad, 0}$, которые мы считаем постоянными и пренебрежимо малыми.

Таким образом, мы можем получить $R_{\mathrm{LOAD}}$ из линейной зависимости $P'_{\mathrm{tot}}$ от $I^{2}$.

Примечание. Так как ток $I$ переменный, при расчётах необходимо использовать его среднеквадратичное значение.

Алюминиевая пластина

Теперь состряпаяем точек на алюминиевой сковороде. Будем изменять силу тока в цепи и наблюдать за процессом нагревания.

Данные для определения $R_{\text {LOAD }}$ алюминиевой пластины с использованием различных токов

$I_\mathrm{RMS}=0.4172~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.27158~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad}, ~Вт$
0	6.6	307.80	$-$	$-$	0.26466	$-$
20	6.546	308.00	8.704	6.098	0.26534	0.27143
40	6.505	308.15	7.483	5.243	0.26586	0.27110
60	6.465	308.30	7.819	5.478	0.26637	0.27185
80	6.421	308.46	6.366	4.460	0.26694	0.27140
100	6.397	308.55	5.184	3.632	0.26725	0.27088
120	6.366	308.67	5.587	3.915	0.26766	0.27157
140	6.338	308.78	5.045	3.535	0.26802	0.27156
160	6.313	308.87	4.782	3.351	0.26836	0.27171
180	6.288	308.97	4.611	3.231	0.26869	0.27192
200	6.265	309.06	4.245	2.974	0.269	0.27197
220	6.244	309.14	3.874	2.714	0.26928	0.27199
240	6.225	309.21	$-$	$-$	0.26954	-

$I_\mathrm{RMS}=0.4978~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.27583~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad}, ~Вт$
0	6.6	307.80	$-$	$-$	0.26466	$-$
20	6.515	308.12	1.437	1.007	0.26573	0.27580
40	6.444	308.38	1.251	8.763	0.26664	0.27540
60	6.381	308.62	1.114	7.805	0.26746	0.27526
80	6.326	308.82	1.040	7.287	0.26818	0.27547
100	6.272	309.03	9.436	6.611	0.2689	0.27551
120	6.228	309.20	8.550	5.990	0.2695	0.27549
140	6.184	309.37	8.127	5.694	0.2701	0.27579
160	6.145	309.53	7.697	5.393	0.27063	0.27602
180	6.106	309.68	7.353	5.152	0.27117	0.27632
200	6.071	309.82	6.804	4.767	0.27166	0.27643
220	6.038	309.95	6.444	4.515	0.27213	0.27664
240	6.007	310.08	$-$	$-$	0.27257	$-$

$I_\mathrm{RMS}=0.5650~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.27863~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad},~Вт$
0	6.6	307.80	$-$	$-$	0.26466	$-$
20	6.503	308.16	1.671	1.171	0.26588	0.27759
40	6.419	308.47	1.519	1.064	0.26696	0.27761
60	6.341	308.77	1.398	9.793	0.26798	0.27778
80	6.272	309.03	1.301	9.113	0.2689	0.27802
100	6.206	309.29	1.209	8.469	0.2698	0.27827
120	6.148	309.51	1.134	7.946	0.27059	0.27854
140	6.091	309.74	1.076	7.539	0.27138	0.27892
160	6.04	309.95	1.006	7.052	0.2721	0.27915
180	5.991	310.14	9.549	6.690	0.2728	0.27949
200	5.946	310.33	8.916	6.247	0.27344	0.27969
220	5.904	310.50	8.369	5.864	0.27405	0.27992
240	5.865	310.66	$-$	$-$	0.27462	$-$

$I_\mathrm{RMS}=0.6590~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.28476~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad}, Вт$
0	6.6	307.80	$-$	$-$	0.26466	$-$
20	6.444	308.38	2.608	1.827	0.26664	0.28491
40	6.32	308.85	2.213	1.551	0.26826	0.28377
60	6.212	309.26	2.036	1.426	0.26971	0.28398
80	6.111	309.66	1.845	1.292	0.2711	0.28403
100	6.026	310.00	1.655	1.159	0.2723	0.28389
120	5.947	310.32	1.578	1.105	0.27343	0.28448
140	5.872	310.63	1.486	1.041	0.27452	0.28493
160	5.804	310.92	1.370	9.596	0.27553	0.28513
180	5.742	311.18	1.270	8.895	0.27646	0.28536
200	5.685	311.43	1.198	8.395	0.27733	0.28573
220	5.631	311.66	1.135	7.952	0.27817	0.28612
240	5.581	311.88	$-$	$-$	0.27895	$-$

$I_\mathrm{RMS}=0.7260~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.29137~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad}, ~Вт$
0	6.6	307.80	$-$	$-$	0.26466	$-$
20	6.373	308.65	3.709	2.598	0.26756	0.29355
40	6.206	309.29	2.998	2.101	0.2698	0.29080
60	6.065	309.84	2.620	1.836	0.27175	0.29011
80	5.944	310.34	2.388	1.673	0.27347	0.29020
100	5.832	310.80	2.220	1.555	0.27511	0.29067
120	5.732	311.22	2.008	1.407	0.27662	0.29069
140	5.644	311.60	1.839	1.288	0.27797	0.29085
160	5.563	311.96	1.749	1.225	0.27924	0.29149
180	5.486	312.30	1.642	1.150	0.28047	0.29197
200	5.417	312.62	1.495	1.047	0.2816	0.29207
220	5.355	312.90	1.435	1.005	0.28263	0.29268
240	5.293	313.19	$-$	$-$	0.28367	$-$

Для удобства расчетов приведём все характеристики алюминиевой пластины в таблице:

Характеристики алюминиевой пластины

Величина	Обозначение	Значение
Излучательная способность	$e$	$0.65$
Плотность	$\rho$	$2700 \mathrm{~кг} / \mathrm{м}^{3}$
Удельная теплоемкость	$c$	$913.7 \mathrm{~Дж} /( \mathrm{кг} \cdot \mathrm{К})$
Табличное значение удельной теплоемкости	$c_0$	$900 \mathrm{~Дж} / (\mathrm{кг} \cdot \mathrm{К})$
Площадь излучения	$A$	$2 \times 2 \mathrm{~см}\times 2 \mathrm{~см}=8 \times 10^{-4} \mathrm{~м}^{2}$
Объем	$V$	$2 \mathrm{~см}\times 2 \mathrm{~см}\times 0.71 \mathrm{~мм}=2.84 \times 10^{-7} \mathrm{~м}^{3}$
Масса	$m$	$\rho\times V=7.668 \times 10^{-4} \mathrm{~кг}$
Температура окружающей среды	$T_{0}$	$303.658 \mathrm{~К}~\left(R_{\text {NTC,0 }}=7.864 ~кОм\right)$

Построим график зависимости $P_{\mathrm{TOT,\, av}}$ от $I_{\mathrm{RMS}}^{2}$, как показано выше. Коэффициент наклона непосредственно дает сопротивление нагрузки:

3.6  ^1.50 Повторите пункт 3.5 для пластины из сплава SS410.

Определение $R_\mathrm{LOAD}$ пластины из $\mathrm{SS410}$

$I_\mathrm{RMS}=0.4441~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.35215~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad},~Вт$
0	6	310.11	$-$	$-$	0.33559	$-$
20	5.9	310.52	1.816	1.805	0.33737	0.35541
40	5.824	310.83	1.458	1.448	0.33875	0.35323
60	5.761	311.10	1.297	1.288	0.33991	0.35279
80	5.702	311.35	1.128	1.121	0.34101	0.35222
100	5.656	311.55	9.555	9.493	0.34189	0.35138
120	5.614	311.73	8.872	8.815	0.34269	0.35151
140	5.575	311.91	8.058	8.007	0.34345	0.35145
160	5.541	312.06	7.116	7.070	0.34411	0.35118
180	5.511	312.19	6.603	6.561	0.3447	0.35126
200	5.482	312.32	6.419	6.378	0.34528	0.35165
220	5.454	312.45	5.775	5.738	0.34584	0.35157
240	5.431	312.55	$-$	$-$	0.3463	$-$

$I_\mathrm{RMS}=0.4978~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.36340~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad},~Вт$
0	6	310.11	$-$	$-$	0.33559	$-$
20	5.827	310.82	3.113	3.093	0.33869	0.36962
40	5.702	311.35	2.481	2.465	0.34101	0.36567
60	5.596	311.81	2.096	2.083	0.34304	0.36386
80	5.511	312.19	1.812	1.800	0.3447	0.36270
100	5.434	312.54	1.637	1.626	0.34624	0.36250
120	5.367	312.85	1.465	1.455	0.3476	0.36216
140	5.307	313.12	1.332	1.324	0.34884	0.36208
160	5.253	313.38	1.194	1.187	0.34998	0.36184
180	5.206	313.60	1.112	1.105	0.35098	0.36202
200	5.16	313.82	1.050	1.044	0.35197	0.36240
220	5.119	314.02	9.752	9.689	0.35286	0.36255
240	5.08	314.21	$-$	$-$	0.35372	$-$

$I_\mathrm{RMS}=0.5650~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.37036~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad},~Вт$
0	6	310.11	$-$	$-$	0.33559	$-$
20	5.778	311.03	4.047	4.021	0.33959	0.37980
40	5.616	311.73	3.121	3.101	0.34265	0.37366
60	5.492	312.28	2.569	2.552	0.34508	0.37060
80	5.387	312.75	2.261	2.247	0.34719	0.36966
100	5.295	313.18	1.990	1.977	0.34909	0.36887
120	5.217	313.55	1.776	1.765	0.35074	0.36839
140	5.146	313.89	1.635	1.624	0.35227	0.36851
160	5.082	314.20	1.499	1.489	0.35368	0.36857
180	5.024	314.49	1.382	1.373	0.35497	0.36870
200	4.971	314.76	1.273	1.265	0.35617	0.36882
220	4.923	315.00	1.122	1.114	0.35728	0.36842
240	4.883	315.20	$-$	$-$	0.35821	$-$

$I_\mathrm{RMS}=0.6590~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.38283~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad},~Вт$
0	6	310.11	$-$	$-$	0.33559	$-$
20	5.711	311.31	5.209	5.176	0.34084	0.39260
40	5.511	312.19	4.072	4.046	0.3447	0.38516
60	5.346	312.94	3.516	3.493	0.34803	0.38297
80	5.207	313.60	3.176	3.156	0.35095	0.38251
100	5.08	314.21	2.734	2.716	0.35372	0.38088
120	4.984	314.69	2.428	2.412	0.35588	0.38000
140	4.887	315.18	2.339	2.324	0.35811	0.38135
160	4.802	315.63	2.072	2.059	0.36013	0.38071
180	4.729	316.01	1.938	1.926	0.36189	0.38115
200	4.657	316.40	1.835	1.823	0.36368	0.38191
220	4.594	316.75	1.672	1.661	0.36527	0.38188
240	4.536	317.07	$-$	$-$	0.36676	$-$

$I_\mathrm{RMS}=0.7260~\mathrm А$, $P'_\mathrm{tot,\, av}=0.40105~Вт$

$t,~с$	$R_\mathrm{NTC},~Ом$	$T,~К$	$\mathrm dT/\mathrm dt,~10^{-3}~К/с$	$mc \,\mathrm dT/\mathrm dt,~Вт$	$eA\sigma_S T^4,~Вт$	$P_C+P'_\mathrm{rad},~Вт$
0	6	310.11	$-$	$-$	0.33559	$-$
20	5.636	311.64	6.927	6.882	0.34227	0.41109
40	5.36	312.88	5.655	5.619	0.34775	0.40394
60	5.144	313.90	4.835	4.804	0.35231	0.40035
80	4.96	314.81	4.327	4.299	0.35642	0.39942
100	4.801	315.63	3.879	3.854	0.36015	0.39869
120	4.664	316.36	3.526	3.504	0.3635	0.39854
140	4.541	317.04	3.245	3.225	0.36663	0.39888
160	4.432	317.66	2.994	2.975	0.3695	0.39925
180	4.333	318.24	2.808	2.790	0.3722	0.40010
200	4.242	318.78	2.574	2.557	0.37476	0.40033
220	4.163	319.27	2.401	2.386	0.37704	0.40090
240	4.087	319.75	$-$	$-$	0.3793	$-$

Свойства пластины из $\mathrm SS410$

Величина	Обозначение	Значение
Излучательная способность	$e$	$0.8$
Плотность	$\rho$	$7700 \mathrm{~кг} / \mathrm{м}^{3}$
Удельная теплоемкость	$c$	$464.7 \mathrm{~Дж} /( \mathrm{кг} \cdot \mathrm{К})$
Табличное значение удельной теплоемкости	$c_0$	$460 \mathrm{~Дж} / (\mathrm{кг} \cdot \mathrm{К})$
Площадь излучения	$A$	$2 \times 2 \mathrm{~см}\times 2 \mathrm{~см}=8 \times 10^{-4} \mathrm{~м}^{2}$
Объем	$V$	$2 \mathrm{~см}\times 2 \mathrm{~см}\times 0.71 \mathrm{~мм}=2.84 \times 10^{-7} \mathrm{~м}^{3}$
Масса	$m$	$\rho\times V=2.16 \times 10^{-3} \mathrm{~кг}$
Температура окружающей среды	$T_{0}$	$303.66 \mathrm{~К}~\left(R_{\text {NTC,0 }}=7.864 ~\mathrm {кОм}\right)$

Построим график зависимости $P_{\mathrm{tot,\, av}}$ от $I_{\mathrm{RMS}}^{2}$, как показано выше. Коэффициент наклона непосредственно дает сопротивление нагрузки:

что в $2.5$ раза больше, чем у алюминиевой пластины.

3.7  ^0.10 Какую пластину лучше использовать в качестве сковородки? Выберите один из вариантов: (a) алюминиевая пластина или (b) пластина из сплава SS410

У $\mathrm{SS410}$ значительно больше $R_{\text {LOAD}}$ (в $2.5$ раза), чем у $\mathrm{Al}$, поэтому он более эффективен для использования в качестве индукционной плиты.

Лучшая сковорода:

3.8  ^0.10 Какой физический параметр имеет наибольшее значение для эффекта индукционного нагревания в условиях предыдущего пункта? Выберите один из вариантов:

(a) Проводимость
(b) Магнитная проницаемость
(c) Плотность
(d) Удельная теплоемкость
(e) Теплопроводность

$\mathrm{SS410}$ – магнитная нержавеющая сталь с очень высокой проницаемостью $\mu_{{r}}=700$, поэтому она имеет очень маленькую глубину скин-слоя в соответствии с уравнением $(16)$. Поэтому его $R_{\text {LOAD }}$ высоко и становится более эффективным для «приготовления стряпни».

Доминирующий физический параметр:

3.9  ^0.40 Коэффициент полезного действия индукционной плиты ($\eta$) определяется как отношение мощности, выделяющейся в пластине, к мощности, подведенной к катушке. Вычислите коэффициент полезного действия для обеих металлических пластин.

Эффективность индукционной плиты

\begin{equation*} \eta=\frac{P_\mathrm{ind.cook}}{P_\mathrm{in}}=\frac{I_{\text {RMS}}{ }^{2} R_{\text {LOAD }}}{I_\text{RMS}^{2}\left(R_{\text {LOAD }}+R_{L}\right)}=\frac{R_{\text {LOAD }}}{R_{\text {LOAD }}+R_{L}} \tag{25} \end{equation*} Из $1.5$ следует, что $R_{\mathrm{L}}=0.48 ~Ом$, получаем:

Поэтому металл $\mathrm{SS410}$ более эффективен для использования в качестве индукционной плиты.

Таким образом, для индукционной плиты нужна высокая проводимость, позволяющая генерировать большие вихревые токи, но очень маленькая глубина скин-слоя, которая может быть получена в материале с высокой проницаемостью для получения более высокого сопротивления нагрузки.