| 1 Записана размерность $[G]=м^3\cdot кг^{-1}\cdot с^{-2}$ | 0.20 |
|
| 2 Записаны уравнения для размерностей | 3 × 0.10 |
|
| 3 Ответы $\beta=2$, $\gamma=-1$, $\delta=4$ | 3 × 0.10 |
|
| 1 Вычислена угловая скорость вращения Земли $\omega=2\pi/24~ч=7.27\cdot 10^{-5}~с^{-1}$ | 0.10 |
|
| 2 Численный ответ $h_{\max}=21.9~км$ | 0.10 |
|
| 1 M1 Записан потенциал $U(z)=-G\dfrac{M_S}{\sqrt{z^2+d_{SE}^2}}$ на оси $z$ с точностью до знака | 0.20 |
|
| 2 M1 Правильный знак $U(z)$ | 0.10 |
|
| 3 M1 $g_z$ выражена через производную $-\dfrac{\mathrm dU(z)}{\mathrm dz}$ | 0.20 |
|
| 4 M1 Забыт минус | -0.10 |
|
| 5 M1 Правильно вычислена производная $-\dfrac{\mathrm dU(z)}{\mathrm dz}=-GM_S\dfrac{z}{\left(z^2+d_{SE}^2\right)^{3/2}}$ | 0.20 |
|
| 6 M2 Записан вклад элемента кольца в гравитационное поле $\mathrm dg=\dfrac{G\,\mathrm dM}{z^2+d_{SE}^2}$ | 0.20 |
|
| 7 M2 Правильный качественный рисунок | 0.10 |
|
| 8 M2 Из соображений симметрии берётся только $z$-компонента | 0.10 |
|
| 9 M2 Интегрирование по всему кольцу | 0.10 |
|
| 10 M2 Найдена $g_z=-GM_S\dfrac{z}{\left(z^2+d_{SE}^2\right)^{3/2}}$ в точке $z$ | 0.20 |
|
| 11 Примерное выражение для $g_z\approx-\dfrac{GM_S}{d_{SE}^3}z$ при $|z|\ll d_{SE}$ | 0.10 |
|
| 12 На рисунке отмечено верное направление к центру кольца | 0.20 |
|
| 1 M1 Использование теоремы Гаусса | 0.50 |
|
| 2 M1 Используется цилиндрическая поверхность с осью симметрии $z$ | 0.40 |
|
| 3 M1 Правильно записаны потоки радиальной и осевой компонент $g_r 2 z \times 2 \pi r+g_z 2 r^2 \pi=0$ (по 0.3 за каждую) | 2 × 0.30 |
|
| 4 M2 Расстояние от участка кольца до рассматриваемой точки $s$ записано из геометрических соображений $s=\sqrt{d_{S E}^2+r^2-2 d_{S E} r \cos \varphi}$ | 0.20 |
|
| 5 M2 Записан потенциал, создаваемый малым участком кольца, $\mathrm{d} U=-\frac{G M_S}{s} \frac{\mathrm{~d} \varphi}{2 \pi}$ | 0.10 |
|
| 6 M2 Полный потенциал $U(r)$ выражен как интеграл $U(r)=-\frac{G M_S}{2 \pi d_{S E}} \int_0^{2 \pi}\left(1+\frac{r^2}{d_{S E}^2}-\frac{2 r \cos \varphi}{d_{S E}}\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d} \varphi .$ | 0.10 |
|
| 7 M2 Подынтегральная функция разложена в ряд Тейлора до второго порядка $r$ (0.1 если записан только первый порядок, 0.4 если потеряно слагаемое с $\cos^2 \varphi$): $1-\frac{r^2}{2 d_{S E}^2}+\frac{r \cos \varphi}{d_{S E}}+\frac{3 r^2 \cos ^2 \varphi}{2 d_{S E}^2} .$ | 6 × 0.10 |
|
| 8 M2 Проведено интегрирование по $\varphi$ (0.1 если потеряно слагаемое с $\cos^2 \varphi$): $U(r)=-\dfrac{GM_S}{d_{SE}}-\dfrac{GM_Sr^2}{4d_{SE}^3}$ | 2 × 0.10 |
|
| 9 M2 $g_r$ выражена как производная $-\dfrac{\mathrm dU(r)}{\mathrm dr}$ (0.1 если забыт минус) | 2 × 0.10 |
|
| 10 M2 Правильно вычислена производная $\dfrac{\mathrm dU(r)}{\mathrm dr}=-\dfrac{GM_S}{2d_{SE}^3}r$ | 0.10 |
|
| 11 Ответ для $g_r$ пропорционален $r$ (0 здесь и далее, если это не так) | 0.30 |
|
| 12 Правильный ответ для $g_r=\dfrac{GM_S}{2d_{SE}^3}r$ (0.1 если отличается на численный множитель, 0 иначе) | 2 × 0.10 |
|
| 13 На рисунке отмечено верное направление от центра кольца | 0.20 |
|
| 1 Формула для объёма эллипсоида $V_{\mathrm{ellipsoid}}=\frac{4 \pi}{3} R_e^2 R_p$ | 0.20 |
|
| 2 Объём сегмента $V=\frac{2 \pi}{3} R_e^2 h_{\max }$ | 0.30 |
|
| 3 Плотность Земли $\rho=3 M_E /\left(4 \pi R_e^2 R_p\right)$ | 0.10 |
|
| 4 Ответ $m=\frac{h_{\max }}{2 R_p} M_E$ | 0.20 |
|
| 1 Момент сил на шаровую область равен нулю | 0.10 |
|
| 2 Момент, действующий на Землю, связан с моментами, действующими на сегменты, как $\vec \tau=-\vec\tau'$ (even if it was done inherently) | 0.20 |
|
| 3 Записаны моменты, создаваемые каждой из проекций $F_r$ и $F_z$ (по 0.4 за каждую) | 2 × 0.40 |
|
| 4 Суммарный момент $|\vec{\tau}|=2 F_z R \sin \alpha+2 F_r R \cos \alpha$ | 0.20 |
|
| 5 Выражение для суммарного момента $|\vec{\tau}|=\frac{3}{5} \frac{G M_E M_S}{d_{S E}^3} R h_{\max } \sin \alpha \cos \alpha $ | 0.30 |
|
| 6 Правильно указано направление $\vec\tau$ (от наблюдателя на рис. C.2) | 0.20 |
|
| 1 Записан закон изменения момента импульса $\vec{\tau}=\frac{\mathrm{d} \vec{L}}{\mathrm{~d} t}$ | 0.20 |
|
| 2 Момент импульса выражен через $\omega$ и момент инерции | 0.20 |
|
| 3 Момент инерции Земли $2M_ER^2/5$ (0.1 за ошибку в численном коэффициенте, 0 при неверной размерности) | 2 × 0.10 |
|
| 4 $|\mathrm d\vec L/\mathrm dt|$ выражено через $L$, $\Omega_1$ и $\alpha$: $\left|\frac{\mathrm{d} \vec{L}}{\mathrm{~d} t}\right|=\Omega_1|\vec{L}| \sin \alpha$ | 0.80 |
|
| 5 Используется $\Omega_1 = 2\pi/T_1$ | 0.10 |
|
| 6 Ответ $T_1=\frac{4 \pi}{3} \frac{d_{S E}^3 R \omega}{G M_S h_{\max } \cos \alpha}$ | 0.30 |
|
| 1 Численный ответ $T_1=80\,600~лет$ | 0.20 |
|
| 1 Суммирование моментов от Солнца и Луны | 0.30 |
|
| 2 Нахождение момента со стороны Луны (допустимо использовать, что он пропорционален $M_M/d_{SE}^3$): $\tau_M=\frac{3}{5} \frac{G M_E M_M}{d_{M E}^3} R h_{\max } \sin \alpha \cos \alpha$ | 0.40 |
|
| 3 Выражение $\frac{T_2}{T_1}=\frac{M_S / d_{S E}^3}{M_S / d_{S E}^3+M_M / d_{M E}^3}$ | 0.30 |
|
| 1 Численный ответ $T_2=25\,400~лет$ | 0.20 |
|