Численные значения, которые могут понадобиться при решении задач 

гравитационная постоянная $G=6.7\cdot10^{-11}~Н\cdot м^2/кг^2$; 

масса Земли $M_З=6\cdot10^{24}~кг$; 

масса Солнца $M_З=2\cdot10^{30}~кг$; 

радиус Земли $r_З=6400~км$; 

радиус орбиты Земли $R_З=1~а.е.=150~млн~км$; 

радиус орбиты Марса $R_М=1.52~а.е.$; 

радиус орбиты Юпитера $R_Ю=5.2~а.е.$; 

высота орбиты МКС $h=400~км$ 

Движение в центральном поле

Рассмотрим движение частицы массой $m$ в поле с потенциальной энергией $U(r)$.

A1 Покажите, что момент импульса частицы сохраняется.

Пусть энергия частицы равна $E$, а момент импульса $L$.

A2 Пользуясь законами сохранения энергии и момента импульса, получите выражения для $\mathrm dr/\mathrm dt$ и $\mathrm dr/\mathrm d\varphi$.
При каком условии частица достигает максимального и минимального расстояний до центра?

A3 Запишите выражения, полученные в предыдущем пункте, в случае гравитационного поля.

Быстрая и лёгкая частица пролетает мимо тяжёлого атома (который можно считать неподвижным) и взаимодействует с ним посредством диполь-дипольного взаимодействия, в рамках которого потенциальная энергия описывается выражением:\[U(r)=-\dfrac{U_0}{r^4},\quad U_0 > 0.\]Частица летит со скоростью $v_0$ и прицельным параметром $b$.

Найдите минимальное расстояние, на которое частица приближается к атому в процессе движения.

A4 Найдите минимальное расстояние, на которое частица приближается к атому в процессе движения.

A5 Если прицельный параметр $b$ меньше критического значения $b_{0}$, то частица упадёт по спиральной траектории на атом. Величину $\sigma=\pi b_0^2$ называют \textbf{сечением реакции}. Найдите сечение реакции атома с быстрой частицей.

Подстановка Бине

B1 Запишите в векторном виде уравнение динамики для частицы, движущейся в гравитационном поле.

Введём величину $u\equiv r^{-1}$. Эта подстановка известна как подстановка Бине.

B2 Выразив $\ddot{\vec r}$ через $\hat r$, $\hat \varphi$, $u$ и её производные по углу, а также другие величины, данные в задаче, получите уравнение движения.

B3 Полученное уравнение – уравнение колебаний. Решив его, получите явно зависимость $r(\varphi)$. Что представляет собой траектория частицы? Как связаны геометрические параметры траектории с её энергией и моментом импульса?

B4 Найдите область пространства, достижимую для спутника. Ответ выразите через $R(\varphi)$, где $R$ – расстояние от границы области до планеты, а $\varphi$ – угол поворота линии $OA$ от начального положения.

Законы Кеплера

C1 Как секториальная скоростью частицы (площадь, заметаемая радиус-вектором частицы, в единицу времени), связана с её моментом импульса? Какой вывод из этого можно сделать?

C2 С учётом второго закона Кеплера выведите выражение для периода движения по орбите.

C3 За какое время Земля упадёт на Солнце, если внезапно остановится?

Двойные звёзды — важный класс астрономических объектов. Будем рассматривать двойную звезду как систему двух точечных масс $M$ и $m$, совершающих круговое движение вокруг общего центра масс. Период вращения системы равен $T_0$. В некоторый момент времени звезда $M$ мгновенно взрывается и теряет массу $\Delta M$. Её новую массу обозначим как $M'$ $(M' = M - \Delta M)$. Считайте, что в силу быстроты и изотропности взрыва относительно звезды $M$, её мгновенные скорости до и после взрыва равны. При решении задачи считайте, что взрыв никак не влияет на звезду $m$. Гравитационная постоянная равна $G$, релятивистскими эффектами пренебречь.

C4 Найдите расстояние $r_0$ между звёздами $M$ и $m$ до взрыва.

C5 Считая, что движение системы звёзд $M'$ и $m$ после взрыва осталось финитным, найдите его период $T_1$.

C6 Найдите, какое условие должно быть наложено на $M$, $m$ и $\Delta M$, чтобы движение системы звёзд $M'$ и $m$ после взрыва стало инфинитным.

Две массы

D1 В большинстве задач по умолчанию считается, что одно из тел можно считать покоящимся, и изучать при этом лишь движение другого тела. Однако в реальности это не так. Рассмотрим две массы $m_1$ и $m_2$ с радиус-векторами $\vec r_1$ и $\vec r_2$ соответственно.

D1 Запишите уравнения движения для этих частиц в векторном виде.

D2 Перейдите от переменных $\vec r_1, \vec r_2$ к радиус-вектору центра масс (обозначим $\vec R$) и радиус-вектору второго тела относительно первого (обозначим $\vec r$). Преобразуйте полученные уравнения.

D3 Результат преобразований представляет собой уравнение, выражающее равномерное движение центра масс, и замкнутое уравнение на $\vec r$. Посмотрим внимательнее на последнее.

D4 Получите третий закон Кеплера для такой системы. Если известны начальные скорости и положения масс, какие величины надо подставить в результаты, полученные в пункте B3?

Космические скорости

Чтобы частица могла удалиться от космического тела на произвольно большое расстояние, она должна достигнуть второй космической скорости $v_\mathrm{II}$.

Е1 Как при этом будет выглядеть её орбита? Получите выражение для второй космической скорости и вычислите её для Земли.

Для Солнечной системы обычно ещё вводят третью космическую скорость $v_\mathrm{III}$ как минимальную скорость, с которой надо стартовать с поверхности Земли, чтобы улететь из Солнечной системы.

Решим подзадачу. Пусть тело запускают с поверхности Земли со скоростью $v > v_\mathrm{II}$ под углом $\theta$ к направлению её движения вокруг Солнца.

E2 С какой скоростью будет двигаться тело относительно Солнца, когда удалится от Земли на достаточно большое (но всё ещё малое по сравнению с радиусом её орбиты) расстояние?

E3 Получите выражение для третьей космической скорости и вычислите её.

Прилунение

Межпланетный космический аппарат стартует с поверхности Земли со второй космической скоростью $v_{2 E}=11.2~км /с$. Двигаясь по баллистической траектории, аппарат, из-за ошибок в расчетах был захвачен гравитацией Луны и упал на ее поверхность.

E4 Найдите возможные минимальную $v_{\min }$ и максимальную $v_{\max }$ скорости столкновения аппарата с Луной.

Отношение массы $M_{E}$ Земли к массе $M_{M}$ Луны $M_{E} / M_{M}=80.0$; отношение радиуса $R_{E}$ Земли к радиусу $R_{M}$ Луны $R_{E} / R_{M}=3.70$; расстояние от Земли до Луны $r=60.0 R_{E}.$ Влиянием Солнца пренебречь.

Переходная орбита

При запуске спутников неизбежно встаёт вопрос о выборе оптимальной орбиты. Самая оптимальная орбита при переходе между двумя круговыми, лежащими в одной плоскости, – это эллиптическая орбита, касающаяся обеих круговых. Такая орбита называется гомановской.

F1 Если радиусы круговых орбит равны $r_1$ и $r_2$, получите выражение для периода обращения по гомановской орбите и для скорости спутника в апоцентре и перицентре орбиты.

F2 Какую минимальную скорость надо придать спутнику на поверхности Земли, чтобы он мог достичь Марса?

Гипербола

Комета летит на Солнце в очень большого расстояния со скоростью $v_0$ и прицельным параметром $b$.

G1 Найдите эксцентриситет орбиты кометы, минимальное расстояние, на которое она приблизится к Солнцу, а также угол, на который она отклонится в результате пролёта.

Однородная планета радиуса $R$ не имеет атмосферы и не вращается. С поверхности планеты бросают камень под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $v_0$, которая меньше второй космической скорости на поверхности этой планеты.

G2 Найдите максимальную высоту подъёма камня над поверхностью планеты. На каком расстоянии от места броска, измеренном вдоль поверхности, камень упадёт?

G3 Найдите время полёта камня, используя второй закон Кеплера.

G4 При каком угле достигается максимум дальности полёта камня при заданной скорости?

Изучим, в какой области космоса можно попасть в цель межпланетной баллистической ракетой. Точка запуска $P$ неподвижна в инерциальной системе отсчета $A$ массивной звезды, находящейся в точке $S$. Скорость ракеты при запуске фиксирована по величине и равна $v_{0}$, то же самое относится и к расстоянию от звезды до точки запуска $|S P|=R$. Масса звезды равна $M$, а гравитационная постоянная – $G$. 

Подсказка: полная энергия ракеты массой $m$, движущейся по эллиптической орбите, равна $E=-G M m /2 a$, где $a$ – большая полуось ее орбиты.

G5 Ракету запускают, как описано выше, в произвольном направлении. Определите период обращения ракеты при движении по эллиптической орбите.

G6 Согласно I закону Кеплера, орбита ракеты представляет собой эллипс, один из фокусов которого находится в точке $S$. Положение другого фокуса $F$ зависит от угла запуска. При изменении угла запуска фокус $F$ перемещается по некоторой кривой. Что это за кривая? Определите геометрические параметры этой кривой.

G7 Рассмотрим такую точку $Q$ на орбите ракеты, расстояние до которой от звезды равно $|S Q|=r$. Определите расстояние $|Q F|$.

G8 Положение точки $Q$ (как определено выше) зависит от угла запуска ракеты, как и расстояние $|P Q|$. Найдите наибольшее возможное расстояние $|P Q|$ среди всех возможно реализуемых положений точки $Q$.

G9 В пунктах G7 и G8 предполагалось, что расстояние $r$ не меняется. 

Если рассматривать $r$ как переменную величину, положение точки $Q$ будет зависеть как от $r$, так и от угла запуска. Определите границу области пространства, в которой может находиться точка $Q$.

G10 Баллистическая ракета запускается с северного полюса. Цель расположена на широте $\varphi$ ($\varphi>0$, для северного полушария и $\varphi<0$ для южного). Под каким углом $\alpha$ к горизонту нужно запускать ракету, чтобы ее начальная скорость была минимальной? 

Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Поле шара

H1 Получите выражение для ускорения свободного падения внутри однородного облака с плотностью $\rho$. Если в таком облаке отпустить свободную частицу, с каким периодом она будет двигаться?

Космический мусор

С развитием космических технологий перед человечеством всё острее стоит вопрос утилизации космического мусора – отработавших частей искуственных спутников Земли, мешающих работе существующих и запуску новых спутников. Есть два возможных пути – затормозить космический мусор так, чтобы он столкнулся с Землёй и сгорел в атмосфере, и разогнать космический мусор до второй космической скорости, чтобы он улетел из области гравитационного влияния Земли. Очевидно, что первый вариант больше подходит для мусора на близких орбитах, а второй – на дальних.

I1 Найдите граничное значение радиуса круговой орбиты, при котором безразлично использование этих вариантов. Как удобнее поступать с мусором на геостационарной орбите?

Судный день

Астероид прилетел в Солнечную систему из далёких окраин с нулевой полной механической энергией. Впервые его заметили на расстоянии 50 а.е. от Солнца.

J1 Определите время, за которое астероид достигнет орбиты Земли. Можно считать, что астероид движется только в радиальном направлении.

Гравитационная рогатка

K1 С какой минимальной скоростью нужно запустить спутник с Земли, чтобы он смог долететь до Юпитера?

Если параметры траектории спутника подобрать достаточно точно, можно добиться того, что при попадании в область гравитационного влияния Юпитера спутник пролетел мимо него по гиперболе, удалившись с той же относительной скоростью, что и до этого, но уже в другом направлении. Если это направление совпадёт с направлением движения Юпитера, у спутника засчёт этого появится дополнительная энергия. Этот приём называется гравитационная рогатка.

K2 До какой скорости разгонится рассматриваемый спутник, используя Юпитер в качестве гравитационной рогатки? Что будет представлять из себя его траектория?

Точки Лагранжа

В общем случае задача трёх тел не имеет аналитического решения, однако его можно искать в случае, когда два тела имеют сравнимую массу, а третье – пренебрежимо малую по сравнению с ними. В этом случае можно найти законы движения первых двух тел, рассматривая только их взаимодействие друг с другом, и уже потом найти закон движения третьего тела в поле, создаваемым двумя другими. Рассмотрим две массы $m_1$ и $m_2$, движущиеся друг относительно друга на расстоянии $R$ по круговым орбитам.

L1 В системе отсчёта, вращающейся вместе с этими массами, запишите выражение для силы, действующей на пробное тело.

L2 Вдоль прямой, соединяющей центры этих масс, существуют три точки, в которых пробное тело находилось бы в равновесии. Эти точки называются точками Лагранжа. Найдите их положения.

Орбитальная прецессия${}^*$

Рассмотрим движение тела в поле\[U(r)=-\dfrac{\alpha}{r}-\dfrac{\beta}{r^2}.\]

M1 Запишите для него выражения, аналогичные пункту A2.

Несложно заметить, что они похожи на результат A3.

M2 При каких значениях $\beta$ будет возможно периодическое движение?

M3 Найдите радиальный период движения тела $T_r$ – время, которое проходит между соседними достижениями расстоянием $r$ до центра экстремума одно и того же характера.

M4 Найдите, как за это время меняется полярный угол тела $\varphi$.

M5 Поскольку этот результат в общем случае больше не равен $2\pi$, орбита тела будет представлять собой медленно поворачивающийся (прецессирующий) эллипс. Найдите период его прецессии.

Подсказка: Составьте и решите усредненные по периоду уравнения движения для векторов $\vec L=m[\vec r,\vec v]$ и $\vec A=[\vec v, \vec L]−\alpha\dfrac{\vec r}{r}$

Дрожащая орбита

Телу, движущемуся вокруг Земли по круговой орбите радиуса $R$, придают небольшую радиальную скорость $\delta v$. В результате этого его орбита незначительно отклоняется от круговой, и расстояние до центра начинает совершать небольшие колебания.

N1 Найдите период этих колебаний $T_r$.

Подсказка: При небольших колебаниях $r(t)=R+\delta r(t)$, $|\delta r|\ll R$. Запишите в первом приближении уравнение на $\delta r$ и решите его.

N2 Из-за изменения расстояния до центра будет меняться и угловая скорость тела, поэтому относительное.

N3 Если с МКС бросить камень со скоростью $1~м/с$, через время $T_r/2$ он удалится от неё на максимальное расстояние, а через время $T_r$ – вернётся практически в исходную точку. Однако, из-за небольшого различия в энергиях камня и МКС, их периоды обращения будут слегка отличаться. Оцените максимальное и минимальное расстояния, на которое камень отдалится приблизится к МКС.

Гравитационные гонки${}^*$

В общем случае движение трех гравитационно взаимодействующих тел хаотично и описывается сложным образом. Однако, в некоторых случаях движение может быть регулярным. Простейший пример такого периодического движения – это движение по окружности трех тел, расположенных в вершинах равностороннего треугольника. В этой задаче, правда, мы рассмотрим более сложное периодическое движение.

Относительно недавно, в 1993 году, было обнаружено, что три одинаковые точечные массы могут периодически двигаться по общей траектории, имеющей форму восьмерки (см. рис.). Фигура на рисунке представляет собой корректную траекторию движения, построенную по данным компьютерных расчетов. Если нужно, на увеличенной версии рисунка вы можете измерять расстояния между точками фигуры с помощью линейки.

Определим терминологию. Пронумеруем тела цифрами $1$, $2$ и $3$ в соответствии с порядком, в котором они проходят самую левую точку траектории $P$. Пусть $O_2$ и $O_3$ – это положения тел $2$ и $3$ соответственно в момент, когда тело $1$ находится в средней точке $O$. Аналогично, $P_2$ и $P_3$ – это положения тел $2$ и $3$ соответственно в момент, когда тело $1$ находится в точке $P$. Пусть также $T$ – полный период движения каждого из тех вдоль этой траектории.

O1

Найдите время движения одного из тел 

1. из точки $O_2$ до точки $O$; 
2. из точки $O_3$ до точки $P_2$. 

O2 Пусть $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_3$ – скорости этих трёх тел в некоторый момент времени. Запишите выражение, связывающее эти скорости между собой.

O3 Докажите, что суммарный момент импульса этой системы равен нулю.

O4 Постройте положения точек $O_2$ и $O_3$ на последнем листе.

O5 Постройте положения точек $P_2$ и $P_3$ на последнем листе.

O6 Найдите отношение скоростей тел в точках $O$ и $P$.

Несферическая поверхность

P1 Найдите ускорение свободного падения $g_{0}$ на поверхности сферической планеты массой $M$ и плотностью $\rho$ (в дальнейшем $M$ и $\rho$ предполагаются постоянными).

P2 Возможно ли, чтобы на поверхности несферической планеты существовала точка, в которой ускорение свободного падения $g>g_{0}$? Свой ответ объясните.

P3 Для какой формы поверхности планеты достигается максимум ускорения свободного падения? Приведите ответ в полярных координатах, выражение может содержать одну неопределенную константу.

Годограф

Пусть в двух различных точках орбиты скорости кометы равны $\vec v_1$ и $\vec v_2$ соответственно. Причем $\vec v_1 \perp \vec v_2$ и $|\vec v_1|=2|\vec v_2|$.

Q1 Найдите наименьший возможный эксцентриситет орбиты.

Спутник вращается вокруг планеты. В точке $A$ его скорость равна $v_1$, в точке $B$ его скорость равна $v_2$ и ее вектор составляет прямой угол со скоростью в точке $A$. В точке $C$ направление скорости противоположно направлению скорости в точке $B$ и ее величина равна $v_3$.

Q2 Найдите эксцентриситет орбиты.

Q3 Найдите точное численное значение эксцентриситета когда $v_1 = 1~км/с$, $v_2=2~км/с$, $v_3=3~км/с$.