Pho.rs: Семинар гравитация

A1 ^?? Покажите, что момент импульса частицы сохраняется.

A2 ^?? Пользуясь законами сохранения энергии и момента импульса, получите выражения для $\mathrm dr/\mathrm dt$ и $\mathrm dr/\mathrm d\varphi$.
При каком условии частица достигает максимального и минимального расстояний до центра?

A3 ^?? Запишите выражения, полученные в предыдущем пункте, в случае гравитационного поля.

A4 ^?? Найдите минимальное расстояние, на которое частица приближается к атому в процессе движения.

A5 ^?? Если прицельный параметр $b$ меньше критического значения $b_{0}$, то частица упадёт по спиральной траектории на атом. Величину $\sigma=\pi b_0^2$ называют \textbf{сечением реакции}. Найдите сечение реакции атома с быстрой частицей.

B1 ^?? Запишите в векторном виде уравнение динамики для частицы, движущейся в гравитационном поле.

B2 ^?? Выразив $\ddot{\vec r}$ через $\hat r$, $\hat \varphi$, $u$ и её производные по углу, а также другие величины, данные в задаче, получите уравнение движения.

B3 ^?? Полученное уравнение – уравнение колебаний. Решив его, получите явно зависимость $r(\varphi)$. Что представляет собой траектория частицы? Как связаны геометрические параметры траектории с её энергией и моментом импульса?

B4 ^?? Найдите область пространства, достижимую для спутника. Ответ выразите через $R(\varphi)$, где $R$ – расстояние от границы области до планеты, а $\varphi$ – угол поворота линии $OA$ от начального положения.

C1 ^?? Как секториальная скоростью частицы (площадь, заметаемая радиус-вектором частицы, в единицу времени), связана с её моментом импульса? Какой вывод из этого можно сделать?

C2 ^?? С учётом второго закона Кеплера выведите выражение для периода движения по орбите.

C3 ^?? За какое время Земля упадёт на Солнце, если внезапно остановится?

C4 ^?? Найдите расстояние $r_0$ между звёздами $M$ и $m$ до взрыва.

C5 ^?? Считая, что движение системы звёзд $M'$ и $m$ после взрыва осталось финитным, найдите его период $T_1$.

C6 ^?? Найдите, какое условие должно быть наложено на $M$, $m$ и $\Delta M$, чтобы движение системы звёзд $M'$ и $m$ после взрыва стало инфинитным.

D1 ^?? В большинстве задач по умолчанию считается, что одно из тел можно считать покоящимся, и изучать при этом лишь движение другого тела. Однако в реальности это не так. Рассмотрим две массы $m_1$ и $m_2$ с радиус-векторами $\vec r_1$ и $\vec r_2$ соответственно.

D1 ^?? Запишите уравнения движения для этих частиц в векторном виде.

D2 ^?? Перейдите от переменных $\vec r_1, \vec r_2$ к радиус-вектору центра масс (обозначим $\vec R$) и радиус-вектору второго тела относительно первого (обозначим $\vec r$). Преобразуйте полученные уравнения.

D3 ^?? Результат преобразований представляет собой уравнение, выражающее равномерное движение центра масс, и замкнутое уравнение на $\vec r$. Посмотрим внимательнее на последнее.

D4 ^?? Получите третий закон Кеплера для такой системы. Если известны начальные скорости и положения масс, какие величины надо подставить в результаты, полученные в пункте B3?

Е1 ^?? Как при этом будет выглядеть её орбита? Получите выражение для второй космической скорости и вычислите её для Земли.

E2 ^?? С какой скоростью будет двигаться тело относительно Солнца, когда удалится от Земли на достаточно большое (но всё ещё малое по сравнению с радиусом её орбиты) расстояние?

E3 ^?? Получите выражение для третьей космической скорости и вычислите её.

E4 ^?? Найдите возможные минимальную $v_{\min }$ и максимальную $v_{\max }$ скорости столкновения аппарата с Луной.

F1 ^?? Если радиусы круговых орбит равны $r_1$ и $r_2$, получите выражение для периода обращения по гомановской орбите и для скорости спутника в апоцентре и перицентре орбиты.

F2 ^?? Какую минимальную скорость надо придать спутнику на поверхности Земли, чтобы он мог достичь Марса?

G1 ^?? Найдите эксцентриситет орбиты кометы, минимальное расстояние, на которое она приблизится к Солнцу, а также угол, на который она отклонится в результате пролёта.

G2 ^?? Найдите максимальную высоту подъёма камня над поверхностью планеты. На каком расстоянии от места броска, измеренном вдоль поверхности, камень упадёт?

G3 ^?? Найдите время полёта камня, используя второй закон Кеплера.

G4 ^?? При каком угле достигается максимум дальности полёта камня при заданной скорости?

G5 ^?? Ракету запускают, как описано выше, в произвольном направлении. Определите период обращения ракеты при движении по эллиптической орбите.

G6 ^?? Согласно I закону Кеплера, орбита ракеты представляет собой эллипс, один из фокусов которого находится в точке $S$. Положение другого фокуса $F$ зависит от угла запуска. При изменении угла запуска фокус $F$ перемещается по некоторой кривой. Что это за кривая? Определите геометрические параметры этой кривой.

G7 ^?? Рассмотрим такую точку $Q$ на орбите ракеты, расстояние до которой от звезды равно $|S Q|=r$. Определите расстояние $|Q F|$.

G8 ^?? Положение точки $Q$ (как определено выше) зависит от угла запуска ракеты, как и расстояние $|P Q|$. Найдите наибольшее возможное расстояние $|P Q|$ среди всех возможно реализуемых положений точки $Q$.

G9 ^?? В пунктах G7 и G8 предполагалось, что расстояние $r$ не меняется.

Если рассматривать $r$ как переменную величину, положение точки $Q$ будет зависеть как от $r$, так и от угла запуска. Определите границу области пространства, в которой может находиться точка $Q$.

G10 ^?? Баллистическая ракета запускается с северного полюса. Цель расположена на широте $\varphi$ ($\varphi>0$, для северного полушария и $\varphi<0$ для южного). Под каким углом $\alpha$ к горизонту нужно запускать ракету, чтобы ее начальная скорость была минимальной?

Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь.

H1 ^?? Получите выражение для ускорения свободного падения внутри однородного облака с плотностью $\rho$. Если в таком облаке отпустить свободную частицу, с каким периодом она будет двигаться?

I1 ^?? Найдите граничное значение радиуса круговой орбиты, при котором безразлично использование этих вариантов. Как удобнее поступать с мусором на геостационарной орбите?

J1 ^?? Определите время, за которое астероид достигнет орбиты Земли. Можно считать, что астероид движется только в радиальном направлении.

K1 ^?? С какой минимальной скоростью нужно запустить спутник с Земли, чтобы он смог долететь до Юпитера?

K2 ^?? До какой скорости разгонится рассматриваемый спутник, используя Юпитер в качестве гравитационной рогатки? Что будет представлять из себя его траектория?

L1 ^?? В системе отсчёта, вращающейся вместе с этими массами, запишите выражение для силы, действующей на пробное тело.

L2 ^?? Вдоль прямой, соединяющей центры этих масс, существуют три точки, в которых пробное тело находилось бы в равновесии. Эти точки называются точками Лагранжа. Найдите их положения.

M1 ^?? Запишите для него выражения, аналогичные пункту A2.

M2 ^?? При каких значениях $\beta$ будет возможно периодическое движение?

M3 ^?? Найдите радиальный период движения тела $T_r$ – время, которое проходит между соседними достижениями расстоянием $r$ до центра экстремума одно и того же характера.

M4 ^?? Найдите, как за это время меняется полярный угол тела $\varphi$.

M5 ^?? Поскольку этот результат в общем случае больше не равен $2\pi$, орбита тела будет представлять собой медленно поворачивающийся (прецессирующий) эллипс. Найдите период его прецессии.

Подсказка: Составьте и решите усредненные по периоду уравнения движения для векторов $\vec L=m[\vec r,\vec v]$ и $\vec A=[\vec v, \vec L]−\alpha\dfrac{\vec r}{r}$

N1 ^?? Найдите период этих колебаний $T_r$.

Подсказка: При небольших колебаниях $r(t)=R+\delta r(t)$, $|\delta r|\ll R$. Запишите в первом приближении уравнение на $\delta r$ и решите его.

N2 ^?? Из-за изменения расстояния до центра будет меняться и угловая скорость тела, поэтому относительное.

N3 ^?? Если с МКС бросить камень со скоростью $1~м/с$, через время $T_r/2$ он удалится от неё на максимальное расстояние, а через время $T_r$ – вернётся практически в исходную точку. Однако, из-за небольшого различия в энергиях камня и МКС, их периоды обращения будут слегка отличаться. Оцените максимальное и минимальное расстояния, на которое камень отдалится приблизится к МКС.

O1 ^??

Найдите время движения одного из тел

из точки $O_2$ до точки $O$;
из точки $O_3$ до точки $P_2$.

O2 ^?? Пусть $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_3$ – скорости этих трёх тел в некоторый момент времени. Запишите выражение, связывающее эти скорости между собой.

O3 ^?? Докажите, что суммарный момент импульса этой системы равен нулю.

O4 ^?? Постройте положения точек $O_2$ и $O_3$ на последнем листе.

O5 ^?? Постройте положения точек $P_2$ и $P_3$ на последнем листе.

O6 ^?? Найдите отношение скоростей тел в точках $O$ и $P$.

P1 ^?? Найдите ускорение свободного падения $g_{0}$ на поверхности сферической планеты массой $M$ и плотностью $\rho$ (в дальнейшем $M$ и $\rho$ предполагаются постоянными).

P2 ^?? Возможно ли, чтобы на поверхности несферической планеты существовала точка, в которой ускорение свободного падения $g>g_{0}$? Свой ответ объясните.

P3 ^?? Для какой формы поверхности планеты достигается максимум ускорения свободного падения? Приведите ответ в полярных координатах, выражение может содержать одну неопределенную константу.

Q1 ^?? Найдите наименьший возможный эксцентриситет орбиты.

Q2 ^?? Найдите эксцентриситет орбиты.

Q3 ^?? Найдите точное численное значение эксцентриситета когда $v_1 = 1~км/с$, $v_2=2~км/с$, $v_3=3~км/с$.

Семинар гравитация

Разбалловка