После прохождения через линзу $L$ плоская волна, отклоненная при отражении от вращающегося зеркала $M$, входит в трубку $T$. Если пренебречь обычно малыми релятивистскими эффектами, перемещение зеркала со скоростью $u$ в направлении, перпендикулярном его плоскости, для излучения с частотой $\nu$, падающего на зеркало под углом $i$, приводит к такому же результату, какой был бы при перемещении источника со скоростью $2 u \cos i$. Таким образом, изменение частоты, обусловленное эффектом Доплера, составляет
$$\frac{\Delta \nu}{\nu}= \pm \frac{2 u}{c} \cos i$$
Знак $+$ или $-$ выбирается в зависимости от того, направлено ли движение зеркала навстречу лучу или от луча, падающего на него.
Учитывая это, допустим, что $M M'$ (рис. 2) – поверхность зеркала, вращающегося вокруг оси $O$ с угловой скоростью $\omega$. Отраженная волна теперь не является монохроматической. Ее частота изменяется от точки $M$ до $M'$ на величину
$$\Delta \nu=\nu \frac{4 \omega R \cos i}{c}, \tag{1}$$
если считать, что $M M'=2 R$, и так как $u=\omega R$ в точках $M$ и $M'$. Волновой фронт, проходящий через отверстие трубки $AB$ при нормальном падении, распространяется в заполняющей трубку дисперсионной среде с фазовой скоростью $v_{\varphi}$, являющейся функцией $\nu$:
$$\Delta v_{\varphi}=\frac{\mathrm d v_{\varphi}}{\mathrm d \nu} \cdot \Delta \nu, \tag{2}$$
поэтому, используя $(1)$, получаем
$$\Delta v_{\varphi}=\frac{\mathrm d v_{\varphi}}{\mathrm d \nu} \frac{4 \omega \nu R \cos i}{c}. \tag{3}$$
Для сероуглерода, как и для всех прозрачных сред, $\mathrm d v_{q} /\mathrm d \lambda$ является отрицательной в видимой области спектра. Следовательно при вращении в указанном на фигуре направлении легко видеть, что скорость $v_{\varphi}$ волнового фронта в точке $A$ больше, чем в точке $B$. Волновой фронт распространяется со средней скоростью, которая является фазовой скоростью $v_{\varphi}$ излучения, падающего в точку $O$, где частота не изменяется, но он испытывает вращение, угловая скорость которого равна
$$\omega'=\frac{A'A''}{A'B'}=\frac{\Delta v_{\varphi}}{2 R \cos i}=-\frac{\mathrm d v_{\varphi}}{\mathrm d \nu} \frac{2 \omega \nu}{c}, \tag{4}$$
причем знак минус обусловлен тем, что направление $\omega'$ противоположно направлению $\omega$. Выражение, связывающее групповую скорость $v_{g}$ с фазовой:
$$\frac{1}{v_{g}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d \nu}\left(\frac{\nu}{v_{\varphi}}\right)=\frac{1}{v_{\varphi}}-\frac{\nu}{v_{\varphi}^{2}} \frac{\mathrm d \nu_{\varphi}}{\mathrm d \nu}$$
позволяет записать $(4)$ в виде
$$\omega'=\frac{2 \omega}{c} v_{\varphi}^{2}\left(\frac{1}{v_{g}}-\frac{1}{v_{\varphi}}\right).$$
За время $\Delta t=2 l / v_{\varphi}$, необходимое для прямого и обратного прохождения по трубке, фронт волны поворачивается на угол
$$\beta=\omega' \Delta t=\frac{4 \omega l}{n}\left(\frac{1}{v_{g}}-\frac{1}{v_{\varphi}}\right),$$
где $n=c / v_{q}$ – показатель преломления для излучения с частотой $\nu$. При вхождении в воздух волновой фронт, составляющий с поверхностью малый угол $\beta$, испытывает преломление, которое преобразует угол $\beta$ в угол $\alpha$:
$$\alpha=n \beta=4 \omega l\left(\frac{1}{v_{g}}-\frac{1}{v_{\varphi}}\right).$$
Это вращение при повороте отражателя будет происходить в том же направлении, что и вращение зеркала. Последнее, без учета эффекта Доплера, задается выражением
$$\theta=\frac{4 \omega l}{v_{\varphi}} \tag{5}$$
для излучения частоты $\nu$. Результирующим вращением будет
$$\alpha+\theta=\frac{4 \omega l}{v_{g}}$$
а не $(5)$. Из него и находится групповая скорость.
Согласно сказанному выше, скорость $c / 1.77$ является групповой скоростью. Чтобы связать ее с данными, указанными в задаче, необходимо выразить ее через дисперсию $\mathrm d n / \mathrm d \lambda_{0}$ сероуглерода. Имеем $$v_{g}=v_{\varphi}-\lambda \frac{\mathrm d v_{\varphi}}{\mathrm d \lambda},$$ где $\lambda$ – длина волны в среде. Поскольку $$n =\frac{c}{v_{\varphi}}, \quad \frac{\mathrm d n}{n}=-\frac{\mathrm d v_{\varphi}}{v_{\varphi}}$$ $$v_{g}=v_{\varphi}\left(1+\frac{\lambda}{n} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda}\right)$$ Используя $\lambda_{0}=\lambda n$, получаем $$\frac{\mathrm d \lambda}{\lambda}=\frac{\mathrm d \lambda_{0}}{\lambda_{9}}-\frac{\mathrm d n}{n};$$ отсюда $$\frac{\lambda}{\mathrm d \lambda} \frac{\mathrm d n}{n}=\frac{\lambda_{0}}{n} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}}:\left(1-\frac{\lambda_{0}}{n} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}}\right)$$ Выражение в скобках представляет собой малую поправку. Отсюда окончательно находим $$v_{g}=v_{\varphi}\left(1+\frac{\lambda_{0}}{n} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}}\right)$$ По условию задачи $$\frac{\mathrm d n}{n}=\frac{0.024}{1.640}, \quad \frac{\lambda_{0}}{\mathrm d \lambda_{0}}=\frac{0.55}{0.1031}.$$
Для средней длины волны $v_{\varphi}=c / 1.64$, следовательно,
$$v_{g}-v_{\varphi}=\frac{c}{1.64}(-0.077)$$(отрицательный знак обусловлен тем, что $\mathrm d n / \mathrm d \lambda<0$). Затем получаем
$$v_{g}-v_{\varphi}=c\left(\frac{1}{1.77}-\frac{1}{1.64}\right)=\frac{c}{1.64}(-0.073).$$Совпадение является удовлетворительным.