Рассмотрим продольные упругие волны, распространяющиеся вдоль бесконечной цепочки точечных частиц, имеющих массу $m$ и расположенных вдоль оси $Ox$ с интервалом $d$. Со стороны каждой из этих частиц действует на соседние частицы отталкивающая сила, пропорциональная изменению их расстояния от положения равновесия (рис. 1).

A1 Найдите уравнение движения для $n$–й частицы, обозначив ее смещение от положения равновесия через $s_{n}$, и покажите, что уравнения движения частиц имеют решение типа $$s_{n}=S \cos (\omega t-k n d).$$ Покажите, что угловая частота $\omega$ изменяется в зависимости от волнового числа $k$ и всегда остается меньше некоторой величины $\omega_{m}$, которую нужно определить.

B1 Найдите фазовую скорость синусоидальных волн, которые могут распространяться вдоль этой цепочки частиц и рассмотрите ее изменение как функцию $k$. Найдите групповую скорость волн, угловая частота которых близка к заданной величине.

C1 При условии, что показатели преломления кристаллов $\mathrm{NaCl}$ и $\mathrm{KCl}$ имеют следующие значения для двух концов видимого спектра: 

$$\mathrm{NaCl}\quad 1.537 \quad 1.568$$

$$\mathrm {KCl}\quad 1.483 \quad 1.510$$

определите число частиц, которое должно приходиться на длину волны, чтобы объяснить дисперсию, обусловленную описанным выше механизмом. Применим ли этот механизм к световым волнам?