A1  ^?? Найдите уравнение движения для $n$–й частицы, обозначив ее смещение от положения равновесия через $s_{n}$, и покажите, что уравнения движения частиц имеют решение типа $$s_{n}=S \cos (\omega t-k n d).$$ Покажите, что угловая частота $\omega$ изменяется в зависимости от волнового числа $k$ и всегда остается меньше некоторой величины $\omega_{m}$, которую нужно определить.

Уравнение движения $n$-й частицы $$m \frac{\mathrm d^{2} s_{n}}{\mathrm d t^{2}}=-k\left(s_{n}-s_{n-1}\right)-k\left(s_{n}-s_{n+1}\right)=k\left(s_{n-1}+s_{n+1}-2 s_{n}\right),\tag{1}$$ где $k$ – коэффициент упругости в законе Гука, Этому уравнению удовлетворяет продольная волна $$s(t)=S \exp \left[ j \left(\omega t-k x \right)\right]$$ Определяется смещение только для абсцисс $n d(n=1,2, \ldots$ ), соответствующих расположению частиц, следовательно, $$s_{n}(t)=S \exp\left[ j \left(\omega t-k n d \right)\right]. \tag{2}$$ Подставляя решение $(2)$ в уравнение $(1)$ после деления на $s_{n}$, находим $$m \omega^{2}=-k \left[\exp \left(-j kd \right)+\exp \left(j k d \right)-2 \right]=4 k \sin ^{2} \frac{kd}{2},$$ откуда $$\omega=\omega_{m} \sin \frac{kd}{2}=\omega_{m} \sin \frac{\pi d}{\lambda}, \tag{3}$$ где $$\omega_{m}^{2}=\frac{4 k}{m}. \tag{4}$$ Угловая скорость $\omega$ периодически изменяется в зависимости от $k$. Период изменения равен $k=2 \pi / \lambda \quad \left(\lambda=2 d \right)$. Для значений волнового числа $$k_{K}=k+K \frac{2 \pi}{d} \quad \left( K - \quad целое \quad число\right)$$ $\omega$ имеет ту же величину, что и для $k$. Максимальная величина $\omega=\omega_{m}$ получается при $k=\pi / d$. Рис. 2 иллюстрирует эти результаты.

Вдоль рассматриваемой цепочки могут распространятся только волны со значениями угловых частот, заключенных в интервале между $0$ и $\omega_{m}$.

При $\exp \left(j 2 K \pi \right)=1$ решения $(2)$ для $k$ и $k_{K}$ одинаковы. Если нужно получить однозначное соотношение между колебательным состоянием и модулем волнового вектора, необходимо ограничить последний интервалом $2 \pi / d$. Обычно выбирают следующий интервал: $$-\frac{\pi}{d} \leqslant k \leqslant \frac{\pi}{d}$$ Положительные значения $k$ соответствуют волнам, распространяющимся вдоль цепочки в положительном направлении, а отрицательные – волнам, распространяющимся в обратном направлении.

Можно найти условия, налагаемые на волновой вектор, другим методом: путем рассмотрения длины волны. Волна длиной $\lambda=12 d$ изображена на (рис. 3) сплошной линией, так что $k=2 \pi / 12 d$, а пунктирная линия представляет волну $$k'=2 \pi\left(\frac{1}{12 d}+\frac{1}{d}\right)$$ так что $\lambda'=12 d / 13$. Смещения $s$ одинаковы.

B1  ^?? Найдите фазовую скорость синусоидальных волн, которые могут распространяться вдоль этой цепочки частиц и рассмотрите ее изменение как функцию $k$. Найдите групповую скорость волн, угловая частота которых близка к заданной величине.

При использовании $(3)$ фазовая скорость волн $(2)$ может быть представлена в виде
$$v_{\varphi}=\frac{\omega}{k}=\frac{\omega_{m} d}{2} \frac{\sin kd / 2}{k d / 2}=v_{0} \frac{\sin kd / 2}{k d / 2}. \tag{5}$$В такой форме функция $\sin x / x$ имеет абсолютное значение, изменяющееся в зависимости от $k$, как это показано на (рис. 4).

Фазовая скорость максимальна и равна $v_{0}$ при $k=0(\lambda=\infty)$. Она понижается до $2 / \pi=0.635$ от этого значения при $k=\pi / d$ и стремится к нулю вместе с $\omega$ при $k=2 \pi / d.$ Фазовая скорость в какой-либо точке $P$ на (рис. 2) определяется наклоном сегмента $O P$ (рис. 5). Групповая скорость $v_{g}= d \omega / d \sigma$ представлена наклоном касательной $P T$ в этой точке.

Пользуясь $(3)$, имеем $$v_{g}=\frac{\omega_{m} d}{2} \cos \frac{k d}{2}=v_{0} \cos \frac{k d}{2}$$ Для очень малых значений $k$ кривую $\omega(k)$ можно считать совпадающей с ее касательной $OA$ в начале координат. В результате $v_{\varphi}$ будет постоянной величиной, и цепочка частиц, которую можно рассматривать как непрерывную среду в случае распространения волн с длинами $\lambda \gg d$, не будет обладать дисперсией. Известно, что это имеет место при распространении вдоль струны упругих волн со звуковыми частотами.

C1  ^?? При условии, что показатели преломления кристаллов $\mathrm{NaCl}$ и $\mathrm{KCl}$ имеют следующие значения для двух концов видимого спектра: 

$$\mathrm{NaCl}\quad 1.537 \quad 1.568$$

$$\mathrm {KCl}\quad 1.483 \quad 1.510$$

определите число частиц, которое должно приходиться на длину волны, чтобы объяснить дисперсию, обусловленную описанным выше механизмом. Применим ли этот механизм к световым волнам?

Выражение $(5)$ можно записать $$v_{\varphi}=v_{0} \frac{\sin \pi / N}{\pi / N}$$ обозначая через $N=\lambda / d$ число частиц, умещающихся на длине волны. Следующая таблица дает значения $v_{\varphi}$ в зависимости от $N$: 

$N$	2	4	8	12	16	20	$\infty$
$v_{\varphi} / v_{0}$	0.636	0.900	0.974	0.989	0.994	0.996	1

Относительные изменения показателя преломления и, следовательно, фазовой скорости составляют приблизительно $0.02$ для $\mathrm {NaCl}$ и $0.018$ для $\mathrm {KCl}$. Если для диспергирующей среды используется эта модель, то число частиц, умещающихся на длине волны, не должно быть больше $10$. Однако известно, что расстояния $d$ имеют порядок нескольких ангстрем и, таким образом, по крайней мере тысяча атомов умещается на длине волны видимого света. Теория дисперсии для этой области спектра должна учитывать внутримолекулярную структуру.