Рассмотрим атомную модель, в которой электрон с массой $m_{e}$ и зарядом $e$ упруго связан с атомом и способен совершать гармонические колебания. Пусть $\omega_{0}$ будет его собственной угловой частотой.

A1 При свободном колебании этот осциллятор излучает энергию. Потеря энергии в единицу времени определяется выражением $$\frac{\mathrm d W}{\mathrm d t}=-\frac{1}{12 \pi \varepsilon_{0} c^{3}}\left\langle\ddot{p}^{2}\right\rangle$$где $W$ – энергия, $t$ – время, $c$ – скорость света, $p$ – электрический дипольный момент осциллятора, а $\left\langle\ddot{p}^{2}\right\rangle$ – среднее значение квадрата второй производной от $p$ по времени. Потеря энергии приводит к затуханию колебания. Найдите коэффициент затухания $g$, происходящего в результате излучения осциллятора.

B1 $N$ одинаковых независимых атомов в единице объема, описываемых указанной выше моделью, помещаются в поле параллельных лучей излучения с угловой частотой $\omega$ и с колебаниями электрического поля вдоль оси $Oy$. Падающее излучение распространяется в направлении $Ox$. Под действием этого поля атомные осцилляторы совершают вынужденные колебания. Рассчитайте электрический дипольный момент атома.

Атомные осцилляторы, совершая вынужденные колебания, сами излучают. Найдите выражение для полного потока, рассеиваемого единицей объема среды, как функцию энергии падающего излучения.

B2 Рассмотрите случай, когда $\omega_{0}^{2} \gg \omega^{2}$ или $\lambda_{0}^{2} \ll \lambda^{2}$. Покажите, что интенсивность рассеянного света пропорциональна $\lambda^{-4}$, где $\lambda$ – длина волны падающего и рассеянного излучений. Найдите отношение интенсивности падающего света к интенсивности рассеянного света в единице объема. Предположите, что $$N=10^{28}~м^{-3}, \quad \frac{\lambda_{0}}{\lambda}=0.1$$Найдите также отношение интенсивностей излучения, рассеянного в красной области, для $\lambda=7000~ \overset{\circ}{\mathrm{A}}$, и в фиолетовой, для $\lambda=4000~ \overset{\circ}{\mathrm{A}}$, в предположении, что интенсивность падающего излучения одна и та же в обоих случаях. Обсудите эти результаты и покажите, что с их помощью можно объяснить голубой цвет неба и красный цвет заходящего солнца.

B3 Наконец, рассмотрите случай $\omega_{0}^{2} \ll \omega$, имеющий место в рентгеновской области. Найдите выражение для рассеянного излучения в этом случае. Рассчитайте отношение интенсивностей рассеянного излучения к падающему, принимая в этом случае $N=10^{22}~см^{-1}$.

Сравните эти отношения для ${ }_{29}^{64} \mathrm{Cu}$ и ${ }_{82}^{207} \mathrm{Pb}$, принимая в первом случае число атомов в $см^{3}$ равным $8 \cdot 10^{22}$, а во втором $3 \cdot 10^{22}$. Предполагается, что все электроны атомов принимают участие в рассеянии рентгеновских лучей.

C1 Теперь рассмотрите проводник с проводимостью $\gamma$. Предполагая, что среда непрерывна, напишите для этого случая уравнения Максвелла. Считая, что электрическое поле изменяется синусоидально с угловой частотой $\omega$ и распространяется в направлении $Ox$, найдите действительную и мнимую части комплексной диэлектрической проницаемости.

C2

Установите дисперсионное соотношение для металла. В этом случае можно предположить, что электроны, отвечающие за оптические свойства, являются свободными, так что $\omega_{0}=0$. Считайте, что показатель затухания $g$ отличен от нуля. Выведите выражения для действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости.

1. Рассмотрите случай $\omega \gg g$. Найдите действительную и мнимую части диэлектрической проницаемости. Сравните их с результатами, полученными в разделе C1 и найдите показатель затухания как функцию $\gamma$. Что обращает на себя внимание в этом выражении?
2. Рассмотрите случай $\omega \ll g$. Обсудите дисперсионное выражение для этого случая. Найдите длину волны $\lambda_{0}$, для которой комплексная диэлектрическая проницаемость равна нулю. Обсудите свойства среды для $\lambda>\lambda_{0}$ и $\lambda<\lambda_{0}$.

C3 В случае C2.2 выразите комплексную диэлектрическую проницаемость как функцию $\lambda_{0}$ и $\lambda$ и рассчитайте коэффициент отражения $R$ среды при $\left(\lambda / \lambda_{0}\right)^{2} \ll 1$ и при $\left(\lambda / \lambda_{0}\right)^{2} \gg 1$.

C4 Найдите силы осцилляторов для $\mathrm{Cs}$, $\mathrm{Rb}$, $\mathrm{K}$, $\mathrm{Na}$ и $\mathrm{Li}$ при условии, что соответствующие значения $\lambda_{0}$ равны $4400$, $3600$, $3150$, $2100$ и $2050~\overset{\circ}{\mathrm{A}}$ и число свободных электронов в $1~м^{3}$ равно $0.85 \cdot 10^{28}$; $1.1 \cdot 10^{28}$; $1.3 \cdot 10^{28}$; $2.5 \cdot 10^{28}$ и $4.5 \cdot 10^{28}$ соответственно.