Рассмотрим модельную квантомеханическую задачу: частица с массой $m$ находится в потенциале такого вида:
\[U(x) = \begin{cases}
0, \quad &|x| > a, \\
-U_0, \quad &|x| < a
\end{cases}.\]
Теперь представим, что мы устремляем ширину потенциала $a$ к нулю, оставляя произведение $U_0 a$ постоянным и равным $\hbar^2 \varkappa_0/m$.

В такой системе оказывается, что существует только одно связанное стационарное состояние, и ему соответствует энергия:
\[E=-\frac{\hbar^2 \varkappa_0^2}{m}\]

A1 Найдите размерность величины $\varkappa_0$.

A2 Пользуясь одномерным уравнением Шредингера
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \Psi'' + U(x) \Psi = E \Psi,\]
получите решения для волновой функции $\Psi_-$ при $x<0$ и $\Psi_+$ при $x>0$ для состояния с указанной энергией. Помните, что

• Плотность вероятности $\rho(x)$ найти частицу в точке $x$ равна $\Psi^*(x) \Psi (x)$ и поэтому \[1 = \int\limits_{-\infty}^0 \Psi_-^* \Psi_- \, dx + \int\limits_0^{+\infty} \Psi_+^* \Psi_+ \, dx\]
• Волновая функция непрерывна $\Psi_-(0)=\Psi_+(0)$
• Волновая функция определена с точностью до фазового множителя $e^{i \varphi}$, где $\varphi$ - действительное число

Нарисуйте качественный график зависимости $|\Psi|$ от $x$.

A3 Вычислите вероятность $p(b)$, что частица удалена от центра потенциала на расстояние меньше $b$.

Проверьте, что выполняется $p(0) = 0$ и $p(\infty) = 1$