A1  ^?? Найдите размерность величины $\varkappa_0$.

A2  ^?? Пользуясь одномерным уравнением Шредингера
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \Psi'' + U(x) \Psi = E \Psi,\]
получите решения для волновой функции $\Psi_-$ при $x<0$ и $\Psi_+$ при $x>0$ для состояния с указанной энергией. Помните, что

• Плотность вероятности $\rho(x)$ найти частицу в точке $x$ равна $\Psi^*(x) \Psi (x)$ и поэтому \[1 = \int\limits_{-\infty}^0 \Psi_-^* \Psi_- \, dx + \int\limits_0^{+\infty} \Psi_+^* \Psi_+ \, dx\]
• Волновая функция непрерывна $\Psi_-(0)=\Psi_+(0)$
• Волновая функция определена с точностью до фазового множителя $e^{i \varphi}$, где $\varphi$ - действительное число

Нарисуйте качественный график зависимости $|\Psi|$ от $x$.

Уравнение Шредингера
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \Psi'' + 0 \cdot \Psi = -\frac{\hbar^2 \varkappa_0^2}{m} \Psi \quad \Rightarrow \quad \Psi'' - 2 \varkappa_0^2 \Psi = 0\]Волновая функция не может уходить в бесконечность при бесконечном удалении от нуля, поэтому нужно оставлять только спадающую экспоненту
\[\Psi_- = A e^{\sqrt{2} \varkappa_0 x}, \quad \Psi_+ = A^{-\sqrt{2} \varkappa_0 x}.\]Константы для $\Psi_+$ и $\Psi_-$ равны, чтобы обеспечить $\Psi_+(0) = \Psi_-(0)$.

Определим константу $A$ из условия нормировки, заменив из симметричных соображений два интеграла на один.
\[1 = 2AA^* \int\limits_0^{\infty}e^{-2\sqrt{2} \varkappa_0 x} \, dx = \frac{AA^*}{\sqrt{2} \varkappa_0}\]Из этого выражения можно определить $A = e^{i \varphi}\sqrt{\sqrt{2} \varkappa_0}$ с точность до фазового множителя.

A3  ^?? Вычислите вероятность $p(b)$, что частица удалена от центра потенциала на расстояние меньше $b$.

Проверьте, что выполняется $p(0) = 0$ и $p(\infty) = 1$

Вероятность $p(b)$ можно найти прямым интегрированием
\[p(b) = \int\limits_{-b}^{b} \Psi^* \Psi \, dx = 2 \int\limits_0^{b} \Psi^* \Psi \, dx = 1 - e^{-2\sqrt{2} \varkappa_0 b}\]