Простой моделью, которую можно использовать для описания широкого класса квантовых систем, является двухуровневая система (ДУС). Это такая система, в которой существует только два собственных состояния: основное (ground, g) и возбужденное (excited, e).

Пусть этим состояниям соответствуют волновые функции $\Psi_e$ и $\Psi_g$. Тогда любое состояние ДУС $\Psi$ является суперпозицией $\Psi_e$ и $\Psi_g$ и поэтому полностью характеризуется двумя числами $\alpha$ и $\beta$:
\[ \Psi = \alpha \Psi_e + \beta \Psi_g, \]где $\alpha \alpha^* + \beta \beta^* = 1$. Чтобы изучить поведение ДУС, можно не конкретизовывать ее природу, и вообще, отказаться от явного использования волновых функций.

Для этого введем вектор состояния $|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$.

A1 Каким может быть вектор состояния у основного состояния? Помните, что волновая функция определена с точностью до фазового множителя $e^{i \varphi}$, где $\varphi$ - действительное число.

Любой оператор $\hat{A}$, действующий на волновые функции ДУС, является матрицей $2 \times 2$, которая действует на вектор состояния:
\[ \hat{A} | \psi \rangle = \begin{pmatrix} A_{ee} & A_{ge} \\ A_{eg} & A_{gg} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}.\]

A2 Запишите гамильтониан $\hat{\mathcal{H}}$ в виде матрицы $2 \times 2$, если энергии основного и возбужденного состояния равны $E_g$ и $E_e$.

A3 Допустим, что в начальный момент времени $| \psi(t=0) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$. Пользуясь уравнением Шредингера
\[ i \hbar \frac{d |\psi(t) \rangle}{dt} = \hat{\mathcal{H}} |\psi(t) \rangle,\]выразите $|\psi(t) \rangle$ через $E_g$ и $E_e$.

Любой физической величине в квантовой механике соответствует оператор. Например, мы можем измерять координату $x$ ДУС. Пусть оператор координаты имеет вид
\[ \hat{x} = \begin{pmatrix}
0 & a \\
a & 0 \end{pmatrix}.\]

В ходе измерения координаты $x$ одного и того же состояния в квантовой механике мы будем получать разные значения. О том, с каким состоянием мы взаимодействуем, можно судить по статистике измеренных значений. Например, среднее наблюдаемое значение координаты $\langle x \rangle$ для состояния с волновым вектором $|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ задается выражением
\[ \langle x \rangle = \langle \psi | \hat{x} |\psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \]

A4 Найдите, как меняется среднее наблюдаемое $\langle x(t) \rangle$ значение координаты ДУС, если ее начальное состояние $| \psi(t=0) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$. Ответ выразите через $a$, $E_g$ и $E_e$.