A1  ^?? Каким может быть вектор состояния у основного состояния? Помните, что волновая функция определена с точностью до фазового множителя $e^{i \varphi}$, где $\varphi$ - действительное число.

Основное состояние задается волновой функцией
\[\Psi = e^{i\varphi} \Psi_g.\]Значит вектор состояния можно написать из определения

A2  ^?? Запишите гамильтониан $\hat{\mathcal{H}}$ в виде матрицы $2 \times 2$, если энергии основного и возбужденного состояния равны $E_g$ и $E_e$.

Гамильтониан должен действовать на вектор состояния также, как он действует на волновую функцию:
\[ \hat{\mathcal{H}} \Psi = \hat{\mathcal{H}} (\alpha \Psi_e + \beta \Psi_g) = \alpha E_e \Psi_e + \beta E_g \Psi_g.\]Отсюда несложно написать гамильтониан в виде матрицы:
\[ \hat{\mathcal{H}}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha E_e \\ \beta E_g \end{pmatrix}.\]

A3  ^?? Допустим, что в начальный момент времени $| \psi(t=0) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$. Пользуясь уравнением Шредингера
\[ i \hbar \frac{d |\psi(t) \rangle}{dt} = \hat{\mathcal{H}} |\psi(t) \rangle,\]выразите $|\psi(t) \rangle$ через $E_g$ и $E_e$.

Перепишем уравнение Шредингера покомпонентно:
\[i\hbar \begin{pmatrix} \dot{\alpha} \\ \dot{\beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
E_e \alpha \\ E_g \beta \end{pmatrix}.\]
Получаем систему независимых уравнений на $\alpha$ и $\beta$, которые имеют решения в виде комплексных экспонент:
\[ \alpha(t) = \alpha(0) e^{-\frac{iE_et}{\hbar}}, \quad \beta(t) = \beta(0) e^{-\frac{iE_gt}{\hbar}}.\]

A4  ^?? Найдите, как меняется среднее наблюдаемое $\langle x(t) \rangle$ значение координаты ДУС, если ее начальное состояние $| \psi(t=0) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$. Ответ выразите через $a$, $E_g$ и $E_e$.

Выполним непосредственное вычисление
\[ \langle x(t) \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{\frac{iE_et}{\hbar}} & e^{\frac{iE_gt}{\hbar}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-\frac{iE_et}{\hbar}} \\ e^{-\frac{iE_gt}{\hbar}} \end{pmatrix} = \frac{a}{2} \left( e^{\frac{it}{\hbar} (E_e - E_g) } + e^{-\frac{it}{\hbar} (E_e - E_g) } \right) = a \cos \frac{(E_e-E_g)t}{\hbar} \]