Классическая задача по квантовой механике – это одномерный колодец с бесконечными стенками. Такую систему можно использовать для описания поведения электронов в очень тонкой металлической пленке.

Рассмотрим такой потенциал:
\[U(x) = \begin{cases}
+\infty, \quad &x<0 \text{ или } x > a \\
0, \quad & 0 < x < a
\end{cases},\]
где $a$ - ширина колодца.

Для такой системы вероятность нахождения частицы за границами колодца равна нулю и поэтому $\Psi(0) = \Psi(a) = 0$.

A1 Найдите решения $\Psi_n$ уравнения Шредингера
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \Psi'' + U(x) \Psi = E \Psi.\]Укажите энергии $E_n$, им соответствующие.

Теперь представим, что в системе находится $N$ электронов, которые не взаимодействуют друг с другом (электростаческое взаимодействие, например, экранировано в металле). Но при этом электроны являются фермионами, т.е. не могу находиться в одном и том же состоянии.

A2 Вычислите суммарную энергию электронов $E$.

Из-за того, что фермионы не могут находиться в одном состоянии, части электронов «приходится» находиться на уровнях с большей энергией. С классической точки зрения это выглядит, как наличие взаимодействия, которое называют обменным.

A3 Рассчитайте, с какой силой $F$ электроны давят на каждую из стенок колодца.