A1  ^?? Найдите решения $\Psi_n$ уравнения Шредингера
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \Psi'' + U(x) \Psi = E \Psi.\]Укажите энергии $E_n$, им соответствующие.

Перепишем уравнение Шредингера в виде
\[ \Psi'' +\frac{2m}{\hbar^2}(E-U) \Psi = 0, \quad k^2 = \frac{2m}{\hbar^2}(E-U)\]Его решения это сумма гармонических функций
\[ \Psi = A \cos kx + B \sin kx.\]С учетом граничных условий $\Psi(0)=\Psi(a)=0$ мы имеем нетривиальное решение, когда $A=0$ и $ka = \pi n$. С учетом $U=0$ имеем
\[\Psi_n = B \sin \frac{\pi n x}{a}, \quad E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2m a^2}\]

A2  ^?? Вычислите суммарную энергию электронов $E$.

Первый электрон заполняет уровень с энергией $E_1$, второй с энергией $E_2$ и т.д. Поэтому,
\[E = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2} \sum_1^Nn^2 =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2} \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} \simeq \frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2} \frac{N^3}{3} \]Правильно в этом расчете учесть наличие спина у электрона. Тогда электроны заполняются уровни не по одному, а парами. И ответ тогда (в приближении $N \gg 1$)
\[E = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2} \frac{N^3}{24}\]

A3  ^?? Рассчитайте, с какой силой $F$ электроны давят на каждую из стенок колодца.

Найдем силу $F$ методом виртуальных перемещений. При изменении ширины колодца на $da$ работа сил $F$ (над электронами) и изменение энергии должны компенсироваться:
\[2F \, da - \frac{\hbar^2\pi^2 N^3}{3ma^3} \, da = 0 \quad \Rightarrow \quad F = \frac{\hbar^2 \pi^2 N^3}{6ma^3}\]