В 1921 немецкий физик Карл Рамзауэр при некоторых энергиях электронов наблюдал их аномально маленькое рассеяние на атомах аргона. Данный эффект невозможно объяснить с точки зрения классической механики, поэтому он сыграл важную роль в популяризации квантовой механики на ранних этапах ее разработки (уравнение Шредингера было впервые опубликовано через 5 лет после открытия эффекта Рамзауэра).

Рассмотрим яму конечной глубины $U_0$ и ширины $a$:
\[U(x) = \begin{cases}
0, \quad & x < 0 \text{ или } x > a \\
-U_0, \quad & 0 < x < a
\end{cases}
\]

Пусть на нее падает электрон с массой $m$ и импульсом $\hbar k$, т.е. его волновая функция - это волна де-Бройля:
\[\Psi = e^{-ikx}\]Эта волна частично отражается от ямы и частично проходит через нее. Другими словами при $x<0$:
\[ \Psi_- = e^{-ikx} + r e^{ikx},\]где $r$ - коэффициент отражения. При $x>0$:
\[ \Psi_+ = t e^{-ikx},\]где $t$ - коэффициент пропускания.

A1 Покажите, что внутри ямы волновая функция $\Psi_\text{in}$ имеет вид
\[ \Psi_\text{in} = A e^{i q x} + B e^{-iqx}. \]Выразите $q$ через $k$, $m$ и $U_0$.

Волновая функция и ее производная (если нет бесконечно больших скачков потенциальной энергии) должны быть непрерывными.

A2 Предложите задачу по волновой оптике, которая полностью аналогична рассматриваемой сейчас.

A3 Найдите $|t|^2$ — вероятность, с которой частица пролетает через яма.

A4 Постройте качественный график $|t|^2$ от $k$.