A1  ^?? Покажите, что внутри ямы волновая функция $\Psi_\text{in}$ имеет вид
\[ \Psi_\text{in} = A e^{i q x} + B e^{-iqx}. \]Выразите $q$ через $k$, $m$ и $U_0$.

Подстановка волновой функции $Ae^{\pm iqx}$ в уравнение Шредингера дает соотношение
\[ \frac{\hbar^2 q^2}{2ma} -U_0 = E = \frac{\hbar^2 k^2}{2ma},\]при выполнении которого $A e^{\pm iqx}$ является его решением.

A2  ^?? Предложите задачу по волновой оптике, которая полностью аналогична рассматриваемой сейчас.

У нас получилось, что волновой вектор внутри ямы больше, чем снаружи, что соответствует показателю преломления
\[ n= \sqrt{1+ \frac{2maU_0}{\hbar^2k^2}}.\]Тогда рассматриваемая задача эквивалентна задаче интерференции в тонкой пленке толщиной $a$ и показателем преломления $n$, т.е. резонатору Фабри-Перо.

A3  ^?? Найдите $|t|^2$ — вероятность, с которой частица пролетает через яма.

Пользуясь аналогией с волновой оптикой, можно решить задачу, рассматривая преломление и отражения волны де Бройля на границах раздела (как это делается для резонатора Фабри-Перо).

Мы же запишем систему уравнений исходя из граничных условий:
\[\Psi_-(0) = \Psi_\mathrm{in}(0), \quad \Psi_-'(0) = \Psi_\mathrm{in}'(0)\]
\[\Psi_+(a) = \Psi_\mathrm{in}(a), \quad \Psi_+(a) = \Psi_\mathrm{in}'(a)\]
В терминах $r$, $t$, $A$ и $B$ получится следующая система:
\[\begin{cases} 1+r = A+B \\ k(-1+r) = q(A-B) \\ te^{-ika} = A e^{iqa} + Be^{-iqa} \\ -k te^{ika} = q(Ae^{iqa} - B e^{-iqa}) \end{cases}\]

Ее можно решать так

1. Исключим $r$ из первых двух уравнений и получим связь \[2=A(1-q/k) + B(1+q/k)\]
2. Исключим $t$ из последних двух уравнений и получим связь \[Ae^{iqa}(1+q/k)+Be^{-iqa}(1-q/k) =0\]
3. Найдем \[A=\frac{2}{(1-q/k) - e^{2iqa} \frac{(1+q/k)^2}{1-q/k}}\]
4. Выразим $t$ через $A$ и получим \[t = -\frac{4qk}{(k-q)^2 - (k+q)^2 e^{2iqa}} e^{-ika}\]

Вычислим $|t|^2$:

\[\begin{split}|t|^2 = t t^* = \frac{16k^2 q^2}{(k-q)^4 + (k+q)^4 - 2(k-q)^2(k+q)^2\cos 2qa } =\\= \frac{4k^2q^2}{4k^2q^2+ (k^2-q^2)^2 \sin^2 qa }\end{split}\] 

A4  ^?? Постройте качественный график $|t|^2$ от $k$.

Для построения графика сначала заметим, что при $qa=\pi n$ частица полностью проходит через яму. При $qa = \pi/2 + \pi n$
\[|t|^2_\text{min} = \frac{4}{4+\frac{(k^2-q^2)^2}{k^2q^2}}=\frac{4}{4+\frac{C}{k^2(k^2+C)}},\]где $C=2maU_0/\hbar^2$. Таким образом $|t|^2$ от $k$ это осциллирующая функция, заключенная между огибающей $|t|^2_\text{min}$ и единицей