A1  ^?? Представьте дифференциальную проводимость (кондактанс) $G = \frac{dI}{dV}$ в виде
$$G/G_{\text{t}} = 1 - \dfrac{e^2/C_{\Sigma}}{k_{\text{B}}T}\cdot g\left(\dfrac{eV}{2k_{\text{B}}T}\right),$$где $G_{\text{t}} = (2R_{\text{t}})^{-1}$ — проводимость системы при высокой (комнатной) температуре.
Получите явный вид функции $g(x)$ и постройте ее график.

Дифференцируя по напряжению, получаем
$$G = \dfrac{1}{2R_{\text{t}}}\left( 1 + uf'(v)\right).$$Отсюда после дифференцирования получаем
$$g(x) = - \dfrac{2 \cosh x -2 - x \sinh x}{2(\cosh x - 1)^2}.$$

A2  ^?? Определите глубину провала проводимости $1 - G_{\text{min}}/G_{\text{t}}$ при $V=0$. Напомним, что $e^{x} = \sum x^n/n!$

Раскладывая в ряд до четвертого порядка полученное в предыдущем пункте выражение, приходим к результату
$$g(0) = \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x\left(x + \frac{x^3}{4}\right) - 4\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \left(\frac{x}{2}\right)^3\right)^2}{8\left(\frac{x}{2}\right)^4} = \dfrac{1}{6}.$$

A3  ^?? Численно определите полную ширину $x_{1/2}$ пика функции $g(x)$ на полувысоте:
$$g\left(\frac{1}{2}x_{1/2}\right) = \frac{1}{2} g(0).$$

Численное решение уравнения $g(x_{1/2}/2) = 1/12$ приводит к ответу.

A4  ^?? Получите численное значение ширины провала проводимости $V_{1/2}$ при температуре кипения гелия $T = 4.21~\text{ К}$.

A5  ^?? На графике представлены зависимости отнормированной проводимости от половины напряжения на транзисторе ($V_{\text{BIAS}} = V/2$). Для каждой из четырех зависимостей определите температуру, при которой она была исследована.

Для каждой зависимости определяем минимальную проводимость, а также полную ширину на половине глубины. В соответствие с формулой, полученной в предыдущем пункте, вычисляем температуру.
Отметим, что на самом деле мы получили завышенные значения, поскольку предположение $v \ll 1$ для предложенных зависимостей выполняется плохо.

A6  ^?? Определите полную емкость $C_{\Sigma}$ одноэлектронного транзистора, для которого были получены приведенные зависимости.

Для определения емкости построим зависимость $(1 - G_{\text{min}}/G_{\text{t}})^{-1}(T)$. Используя результат п. А2, получаем
$$(1 - G_{\text{min}}/G_{\text{t}}) = \dfrac{e^2}{6k_{\text{B}}T\cdot C_{\Sigma}}.$$Значит, наклон $\kappa$ построенной зависимости определяет емкость транзистора:
$$C_{\Sigma} = \dfrac{e^2}{6k_{\text{B}}}\cdot \kappa.$$