В случае $ e^2/C_{\Sigma} \ll k_{\text{B}}T$, когда туннельный переход может служить элементом первичного термометра — то есть термометра, который не надо предварительно калибровать.

В простейшем случае такой термометр представляет собой одноэлектронный транзистор — два туннельных перехода и затвор (см. рис.). Записывая условия и вероятности туннелирования, при достаточно высоких температурах можно получить выражение для тока, протекающего через туннельные переходы
$$I = \dfrac{V}{2R_{\text{t}}} + \dfrac{e}{R_{\text{t}}C_{\Sigma}} \cdot \left[ f \left(\dfrac{eV}{k_{\text{B}}T}\right) - f \left(-\dfrac{eV}{k_{\text{B}}T}\right) \right],$$где $f(x) = \dfrac{1+(x-1)e^{x}}{(1-e^x)^2}.$
При очень высоких температурах (например, при комнатной) вторым слагаемым можно пренебречь, и остается закон Ома для двух туннельных переходов сопротивлением $R_{\text{t}}$, соединенных последовательно.

A1 Представьте дифференциальную проводимость (кондактанс) $G = \frac{dI}{dV}$ в виде
$$G/G_{\text{t}} = 1 - \dfrac{e^2/C_{\Sigma}}{k_{\text{B}}T}\cdot g\left(\dfrac{eV}{2k_{\text{B}}T}\right),$$где $G_{\text{t}} = (2R_{\text{t}})^{-1}$ — проводимость системы при высокой (комнатной) температуре.
Получите явный вид функции $g(x)$ и постройте ее график.

A2 Определите глубину провала проводимости $1 - G_{\text{min}}/G_{\text{t}}$ при $V=0$. Напомним, что $e^{x} = \sum x^n/n!$

A3 Численно определите полную ширину $x_{1/2}$ пика функции $g(x)$ на полувысоте:
$$g\left(\frac{1}{2}x_{1/2}\right) = \frac{1}{2} g(0).$$

A4 Получите численное значение ширины провала проводимости $V_{1/2}$ при температуре кипения гелия $T = 4.21~\text{ К}$.

Таким образом, ширина провала проводимости зависит только от температуры, что позволяет использовать одноэлектронный транзистор в качестве первичного термометра.

A5 На графике представлены зависимости отнормированной проводимости от половины напряжения на транзисторе ($V_{\text{BIAS}} = V/2$). Для каждой из четырех зависимостей определите температуру, при которой она была исследована.

A6 Определите полную емкость $C_{\Sigma}$ одноэлектронного транзистора, для которого были получены приведенные зависимости.