Если взять производную от первого уравнения, то $a'' - i \kappa b' = 0$, и можно подставить второе уравнение в первое.
\[a''-\kappa^2 a = 0\]

Примечание: Не для всех указанных величин граничные условия обязаны существовать в рассматриваемой постановке задачи.

Гранчиные условия $a_0 = a(0)$ и $b(L)=0$. Из второго следует, что $a'(L)=0$

Решения уравнения для $a(x)$ выглядят, как
\[a(x) = Ae^{\kappa x} + B e^{-\kappa x}.\]Граничные условия накладывают такие ограничения на константы: $A+B=a_0$ и $Ae^{\kappa L}-Be^{-\kappa L}=0$. Из них получается, что
\[ A = \frac{a_0}{1+e^{2\kappa L}}, \quad B = \frac{a_0}{1 + e^{-2\kappa L}}\]При этом $b(0) = -ia'(0)/\kappa$, поэтому
\[ b(0)=i(B-A)=ia_0 \left( \frac{1}{1+e^{-2\kappa L}} - \frac{1}{1+e^{2\kappa L}} \right)= ia_0 \frac{e^{2\kappa L} - e^{-2\kappa L}}{(1+e^{2\kappa L})(1+e^{-2\kappa L})}=ia_0 \frac{ \sinh 2\kappa L}{2 \cosh^2 \kappa L} = ia_0 \frac{\sinh \kappa L}{\cosh \kappa L} \]При этом
\[R = \frac{|b(0)|^2}{|a_0|^2}=\tanh^2 \kappa L\]

Вычилсим коэффицент пропускания $T=|a(L)|^2/|a_0|^2$
\[a(L)=\frac{a_0 e^{\kappa L}}{1+e^{2 \kappa L}} + \frac{a_0 e^{-\kappa L}}{1+e^{-2 \kappa L}} =a_0 \frac{1}{\cosh \kappa L} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{1}{\cosh^2 \kappa L}\]Теперь найдем $R+T$:
\[ R+T=\tanh^2 \kappa L + \frac{1}{\cosh^2 \kappa L} = \frac{\sinh^2 \kappa L+ 1}{\cosh^2 \kappa L} = 1,\]то есть вся падающая энергия либо отражается либо проходит через брэговскую решетку. Значит энергия не теряется.