В данной задаче мы изучим собственные моды резонатора на основе волоконной брэгговской решетки.

Пусть в оптоволокне на расстоянии $2L$ друг относительно друга изготовлены две брэгговские решетки длиной $l$ и с силой решетки $\kappa$.

В рамках теории связанных мод найдем такие решения $a_{1,2}(x)$, $b_{1,2}(x)$, которые не требуют наличия внешнего источника: $a_1(-L-l)=0$, $b_2(L+l)=0$, и при этом могут обладать любой амплитудой.

Показатель преломления оптоволокна $n$.

A1 Запишите связь между $a_1(-L)$ и $a_2(L)$, $b_1(-L)$ и $b_2(L)$ из соображений о сдвиге фазы при прохождении волны вдоль оптоволокна.

Ответ может содержать $L$, $n$ и волновое число $k=\omega/c$, где $\omega$ - частота света, а $c$ - скорость света.

A2 Выразите $a_1(-L)$ через $b_1(-L)$. Ответ может содержать $\kappa$, $l$.

A3 Выразите $b_2(L)$ через $a_2(L)$. Ответ может содержать $\kappa$, $l$.

Полученные уравнения можно свести к системе
\[
\begin{cases}
a_2(L) + A b_1(-L) = 0 \\
B a_2(L) + b_1(-L) = 0,
\end{cases}\]
которая имеет нетривиальные решения (т.е. решения с любой амплитудой) при выполнении условия самосогласования $1-AB=0$.

A4 Запишите условие самосогласования при $\kappa l = \infty$. Найдите частоты собственных мод резонатора $\omega_m$, считая, что $\kappa$ и $n$ не зависят от длины волны.

Полученное условие самосогласования не может выполниться в точности, если $\kappa l$ является конечным числом. Это связано с тем, что в таком случае рассматриваемая мода имеет какое-то время жизни, которое можно найти. Для этого учтем, что амплитуды всех волн в резонаторе затухают, как $e^{-\omega''t}$. При этом для простоты будем считать, что $L \gg l$.

A5 Модифицируйте уравнения, найденные в вопросе A1 так, чтобы учесть наличие затухания волны за время пробега от одной решетки к другой.

Из нового условия самосогласования найдите связь между $\omega''$ и $\kappa l$ при $\kappa l \gg 1$ для каждой собственной моды резонатора.

A6 Найдите добротности собственных мод резонатора $Q_m$, считая, что $\kappa$ и $n$ не зависят от длины волны.