A1  ^?? Запишите связь между $a_1(-L)$ и $a_2(L)$, $b_1(-L)$ и $b_2(L)$ из соображений о сдвиге фазы при прохождении волны вдоль оптоволокна.

Ответ может содержать $L$, $n$ и волновое число $k=\omega/c$, где $\omega$ - частота света, а $c$ - скорость света.

A2  ^?? Выразите $a_1(-L)$ через $b_1(-L)$. Ответ может содержать $\kappa$, $l$.

Из теории связанных мод можно получить уравнение на $a_1(x)$: $a_1'' - \varkappa^2 a_1 = 0$. С учетом граничного условия $a_1(-L-l)=0$, мы имеем
\[b_1(-L)=ia_1(-L) \cdot \tanh \kappa L\]

A3  ^?? Выразите $b_2(L)$ через $a_2(L)$. Ответ может содержать $\kappa$, $l$.

Со второй стороны системы получается та же самая связь через коэффициент отражения:
\[a_2(L)=ib_2(L) \cdot \tanh \kappa L\]

A4  ^?? Запишите условие самосогласования при $\kappa l = \infty$. Найдите частоты собственных мод резонатора $\omega_m$, считая, что $\kappa$ и $n$ не зависят от длины волны.

Система уравнений:
\[
\begin{cases} a_2(L) - b_1(-L) \cdot ie^{2iknL} \coth \kappa L = 0\\
-a_2(L) \cdot ie^{2iknL} \coth \kappa L + b_1(-L) = 0
\end{cases}.\]
Условие самосогласования:
\[e^{4 ik nL} \coth^2 \kappa L = -1\]При $\kappa L = \infty$ мы имеем условие
\[4nL \frac{\omega_m}{c} = \pi + 2 \pi m\]

A5  ^?? Модифицируйте уравнения, найденные в вопросе A1 так, чтобы учесть наличие затухания волны за время пробега от одной решетки к другой.

Из нового условия самосогласования найдите связь между $\omega''$ и $\kappa l$ при $\kappa l \gg 1$ для каждой собственной моды резонатора.

Чтобы учесть затухание волны, нужно добавить множитель $e^{-\omega''t}$, где $t$ - время прохождения волны от одного края резонатора к другому. То есть условие самосогласования практически не поменяет свой вид:
\[ e^{4 i knL} e^{-\omega'' 4nL/c} \coth^2 \kappa l = -1.\]Из него следует, что
\[e^{-\omega'' 4nL/c} \simeq 1 - \frac{4nL \omega''}{c}= \frac{\sinh^2 \kappa l}{\cosh^2 \kappa l}\simeq1-\frac{e^{-2\kappa l}}{4}\]

A6  ^?? Найдите добротности собственных мод резонатора $Q_m$, считая, что $\kappa$ и $n$ не зависят от длины волны.

Добротность определяется из отношения скорости затухания колебаний в системе к ее частоте. Для осцилятора с трением добротность $Q$ является частью уравнения движения
\[ x'' + \frac{2\omega_0}{Q} x' + \omega_0^2 x = 0,\]которое имеет решения
\[x = e^{-\omega_0/Q t} \left( A e^{i\omega_0 t} + Be^{-i \omega_0t} \right).\]Поэтому добротность $m$-ой моды резонатора определяется выражением
\[Q_m = \frac{\omega_m}{\omega''}= 4\pi(1+2m)e^{2\kappa L} \]