Часть А. Гантель с закреплённой точкой (2.2 балла)

Гантель состоит из лёгкого жёсткого стержня длины $l$ и двух точечных масс на его концах: $m_1$ и $m_2~$($m_1 > m_2$). Поле тяжести в данной части отсутствует. Гантель закреплена в некоторой своей точке на цилиндрическом шарнире так, что она может вращаться в содержащей её плоскости. Система находится в вязкой среде, так что на точечные концы гантели (и только на них) действует сила вязкого трения, которая равна $$\vec{f}_i = - \gamma\vec{v}_i,$$ где $i$ — номер конца, $\vec{v}_i$ — скорость в лабораторной системе отсчёта, а $\gamma > 0$.

Известно, что момент инерции $J$ гантели относительно оси вращения минимален среди всех, которые можно получить, закрепляя гантель описанным образом.

A1  ^0.60 Найдите расстояние $x_1$ от конца гантели $m_1$ до точки крепления.

A2  ^0.20 Найдите момент инерции $J$.

В момент времени $t = 0$ гантель покоилась, а к тяжёлому концу $m_1$ приложили постоянную по модулю силу $F$, направление которой всегда перпендикулярно плечу гантели.

A3  ^0.30 Вычислите угловое ускорение $\varepsilon$ гантели в момент времени $t = 0$.

A4  ^0.60 Вычислите установившуюся угловую скорость $\omega_{\text{lim}}$ вращения гантели спустя длительное время.

A5  ^0.50 Найдите момент времени $\tau$, в который угловая скорость равна $\omega_{\text{lim}}/2$.

Часть B. Свободная гантель (1.4 балла)

В данном пункте поле тяжести и сила трения отсутствуют. Теперь гантель не закреплена.

Введём прямоугольную декартову систему координат $\mathrm{O}xy$.
В момент времени $t = 0$ гантель покоилась вдоль оси $\mathrm{O}x$ и к её тяжёлому концу $m_1$ приложили постоянную по модулю силу $F$, направление которой всегда перпендикулярно плечу гантели. В начальный момент сила сонаправлена с осью $\mathrm{O}y$.

B1  ^0.20 Вычислите угловое ускорение $\varepsilon$ гантели в момент времени $t = 0$.

B2  ^0.20 Какое время $T_n$ займёт $n$-ый оборот гантели?

B3  ^1.00 Спустя длительное время скорость центра масс гантели устанавливается практически постоянной. Найдите вектор $\vec{u}$ установившейся скорости центра масс. В ответ запишите $x$- и $y$-компоненты скорости $\vec{u}$.

Вам могут понадобиться следующие интегралы Френеля: $$\int \limits_{0}^{\
\infty} \sin(x^2)\mathrm{d}x = \int \limits_{0}^{\infty}\cos(x^2)\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.$$

Часть C. Релакс в вязкой среде (1.8 балла)

Теперь гантель не закреплена, находится в вязкой среде в поле тяжести, а также на неё действует постоянная сила Архимеда, точка приложения которой находится в середине гантели. Она по модулю равна силе тяжести. Изначально гантель покоится в вертикальном положении.

В этой части задачи и далее для удобства при решении и выражении ответа вы можете пользоваться следующим обозначением: за $\vec{\Delta}$ обозначим вектор, начало которого располагается в центре масс гантели, а конец — в её середине; $\Delta = |\vec{\Delta}|$.

Гантель слегка отклоняют от положения равновесия.

C1  ^1.50 Определите итоговый вектор перемещения $\vec{s}$ центра масс гантели после её остановки. Ответ должен быть представлен в виде компонент в изображённой на данном рисунке системе координат.

C2  ^0.30 Определите, какое количество теплоты выделилось в процессе всего движения гантели.

Часть D. Колебания в вязкой среде (1.9 балла)

Теперь гантель в условиях прошлого пункта находится в устойчивом вертикальном положении равновесия: тяжелый конец $m_1$ находится строго под лёгким $m_2$.

Гантель отклоняют от вертикали на угол $\varphi_0 \ll 1$, а затем отпускают без начальной скорости. Потери энергии, вызванные вязким трением, считайте малыми.

D1  ^0.60 В произвольный момент времени запишите полный момент $\vec{M}_{\text{out}}$ внешних сил относительно центра масс гантели. Выразите его через скорость центра масс $\vec{v}$, угловую скорость $\vec{\omega}$, $\vec{\Delta},$ $\vec{g}$ и параметры системы.

D2  ^0.20 Покажите, что при условиях малости затухания и $\varphi_0 \ll 1$ в записи уравнения вращательного движения можно пренебречь моментом, вызванным поступательным движением центра масс.

Даже если вы не выполнили предыдущий пункт, введённое в нём приближение можно использовать дальше.

D3  ^0.50 Запишите уравнение вращательного движения. С учётом малости затухания и условия $\varphi_0 \ll 1$ и получите уравнение затухающих колебаний угла, образованного гантелью с вертикалью:

$$\ddot{\varphi} + A\dot{\varphi} + B\varphi = 0.$$Определите коэффициенты $A$ и $B$.

D4  ^0.20 Определите период $T$ колебаний гантели.

D5  ^0.20 Оцените характерное время $\tau$ затухания колебаний гантели.

D6  ^0.20 Определите добротность $\mathrm{Q}$ такой колебательной системы.

Часть E. Регулярная прецессия гантели (0.8 балла)

Пусть теперь стержень гантели является однородным цилиндром с радиусом $R$, длиной $l$ и массой $m$. В данном пункте мы рассмотрим прецессию такого «волчка» под действием его собственной силы тяжести. С этого момента и до конца задачи полагайте $m_1 = m_2 = 0$.

E1  ^0.10 Вычислите момент инерции $I$ стержня гантели относительно его оси.

При решении и выражении ответов вы можете всегда пользоваться обозначением $I$.

Один из концов гантели закреплён на поверхности стола на сферическом шарнире без трения. Гантель вращается вокруг своей оси с очень большой угловой скоростью $\omega$, так что далее можно считать, что полный момент импульса $\vec{L}$ гантели направлен вдоль вектора $\vec{\omega}$. Помимо силы реакции опоры на гантель также действует и сила тяжести, момент которой вызывает движение, названное гироскопическим (или же регулярной прецессией): центр масс гантели вращается вокруг вертикали, проходящей через сферический шарнир, с некоторой установившейся угловой скоростью $\Omega$.

Пусть гантель совершает описанное вращение в однородном поле тяжести $\vec{g}$, притом угол плеча гантели с вертикалью постоянен и равен $\theta_0$.

E2  ^0.20 Запишите закон изменения момента импульса гантели относительно точки её крепления.

E3  ^0.50 Вычислите угловую скорость $\vec{\Omega}$ регулярной прецессии гантели.

Часть F. Прецессия в присутствие вязкого трения (1.9 балла)

Пусть теперь гантель совершает гироскопическое движение в присутствие вязкого трения. С одной стороны, на неопирающийся конец гантели $m_2$ действует сила вязкого трения, связанная с его прецессионным движением вокруг вертикали. С другой стороны, существует момент сил вязкого трения, вызванный вращением гантели вокруг собственной оси симметрии. Он равен $\vec{M}_{\text{fric}} = - \alpha \vec{\omega},~\alpha >0.$ Далее считайте всегда верными следующие приближения: $\omega \gg \Omega$ и $\dot{\theta} \ll \frac{mg}{\gamma l}.$

F1  ^0.30 Вычислите зависимость модуля момента импульса гантели от времени.

F2  ^0.60 Получите дифференциальное уравнение, описывающее изменение угла гантели с вертикалью с течением времени.

F3  ^0.20 Пусть начальный угол равен $\theta_0$. Чему равна скорость изменения угла в начальный момент?

F4  ^0.80 С начальным условием из предыдущего пункта получите явную зависимость $\theta(t)$.