|
1
Корректно записана теорема Гюйгенса-Штейнера: \[J_{\mathrm{P}} = J_{\mathrm{O}} + M\cdot\mathrm{OP}^2.\] |
0.20 |
|
| 2 Сделан верный вывод о месте нахождения точки крепления гантели (в центре масс гантели). | 0.30 |
|
|
3
Получен ответ: \[x_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}l.\] |
0.10 |
|
|
1
Верно записано или подразумевается определение момента инерции. |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: \[J_{\mathrm{O}} = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}l^2.\] |
0.10 |
|
|
1
Корректно записано уравнение вращательного движения, где производная момента импульса выражен через $J$ и $\varepsilon$: \[J\vec{\varepsilon} = \sum \limits_{i}\vec{M}_{i}.\] |
0.10 |
|
|
2
Вычислен вынуждающий момент: \[M_{\text{outer}} = F\cdot x_1.\] |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ: \[\varepsilon = \frac{F}{m_1 l}.\] |
0.10 |
|
|
1
Получен момент сил вязкого трения: \[M_{\text{fric}} = -\gamma(x_1^2 + x_2^2)\omega.\] |
0.30 |
|
| 2 $\varepsilon = 0$ или эквивалентное условие, выражающее стационарность $\omega_{\text{lim}}$. | 0.20 |
|
|
3
Получен ответ: \[\omega_{\text{lim}} = \frac{m_2(m_1 + m_2)}{m_1^2 + m_2^2}\frac{F}{\gamma l}.\] |
0.10 |
|
|
1
Получена верная функциональная зависимость $\omega(t)$: \[\omega(t) = \frac{F}{\gamma}\frac{m_2(m_1 + m_2)}{(m_1^2 + m_2^2)l}\left(1 - e^{-\frac{\gamma (m_1^2 + m_2^2)}{(m_1 + m_2)m_1m_2}t}\right)\] |
0.20 |
|
|
2
Получен верный коэффициент в показателе экспоненты: \[-\frac{\gamma (m_1^2 + m_2^2)}{(m_1 + m_2)m_1m_2}.\] |
0.10 |
|
|
3
Получен верный коэффициент перед экспонентой: \[\frac{m_2(m_1 + m_2)}{m_1^2 + m_2^2}\frac{F}{\gamma l}\] |
0.10 |
|
| 4 Получен ответ. | 0.10 |
|
| 1 Уравнение вращательного движения записано верно и относительно оси, проходящей через центр масс ИЛИ обосновано, что ответ не изменится по сравнению с предыдущей частью. | 0.10 |
|
|
2
Получен ответ: \[\varepsilon = \frac{F}{m_1 l}\] |
0.10 |
|
|
1
Получена верная функциональная зависимость для $t_n = \sum\limits_{j = 1}^{n}T_j$ от $n$ или эквивалентное равенство: \[2\pi n = \frac{\varepsilon t_n^2}{2}~\Leftrightarrow~t_n = 2\sqrt{\frac{\pi n}{\varepsilon}}.\] |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: \[T_n = 2\sqrt{\frac{\pi m_1 l}{F}}\left(\sqrt{n} - \sqrt{n-1}\right).\] |
0.10 |
|
| 1 Корректно записана теорема о движении центра масс хотя бы для одной компоненты скорости. | 0.40 |
|
|
2
Составлен интеграл по $t$ и верно указаны пределы интегрирования: \[u_x = \frac{F}{m} \int\limits_0^{\infty}-\sin\left(\frac{\varepsilon t^2}{2}\right)\mathrm{d}t\] |
0.40 |
|
|
3
Получен ответ: \[\vec{u} = \frac{\sqrt{\pi m_1Fl}}{2(m_1 + m_2)} \begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}.\] |
0.20 |
|
|
1
Корректно записана теорема о движении центра масс для $x$-компоненты. $$m\dot{v}_x = -2\gamma \dot{x} + 2\gamma\Delta\cos(\varphi)\omega$$ |
0.20 |
|
|
2
Корректно записана теорема о движении центра масс для $y$-компоненты. $$m\dot{v}_y = -2\gamma \dot{y} - 2\gamma\Delta\sin(\varphi)\omega$$ |
0.20 |
|
|
3
В теореме о движении центра масс получена связь между изменениями скорости, координаты и угла хотя бы для одной компоненты: \begin{equation} \begin{cases} \frac{m}{\gamma}\mathrm{d}v_x = -2\mathrm{d}x + 2\Delta\cos(\varphi)\mathrm{d}\varphi;\\ \frac{m}{\gamma}\mathrm{d}v_y = -2\mathrm{d}y - 2\Delta\sin(\varphi)\mathrm{d}\varphi. \end{cases} \end{equation} |
0.50 |
|
|
4
Верно выполнено интегрирование связи между величинами хотя бы для одной комопненты: \begin{equation} \begin{cases} \frac{m}{\gamma}\left(v_x - v_{x_0}\right) = -2\left(x - x_0\right) + 2\Delta\left(\sin(\varphi) - \sin(\varphi_0)\right);\\ \frac{m}{\gamma}\left(v_y - v_{y_0}\right) = -2(y - y_0) + 2\Delta\left(\cos(\varphi) - \cos(\varphi_0)\right). \end{cases} \end{equation} |
0.10 |
|
|
5
Верно учтены все начальные условия: \[ \begin{cases} v_{x_0} = 0;\\ v_{y_0} = 0;\\ x_0 = 0;\\ y_0 = 0;\\ \varphi_0 = 0; \end{cases} \] |
0.10 |
|
|
6
Верно учтены все «конечные условия»: \[ \begin{cases} \varphi = \pi;\\ v_x = 0;\\ v_y = 0. \end{cases} \] |
0.30 |
|
|
7
Получен ответ: \[ \vec{s} = \begin{pmatrix} 0\\ -2\Delta \end{pmatrix} \] |
0.10 |
|
| 1 Явно указано, что сила Архимеда не совершила работы. | 0.20 |
|
|
2
Получен ответ: \[Q = (m_1 - m_2)gl.\] |
0.10 |
|
|
1
Верно записан момент силы Архимеда: $$[\vec{\Delta} \times \vec{F_a}].$$ |
0.10 |
|
|
2
Верно записан момент сил трения, связанный с поступательным движением центра масс: $$-2\gamma \cdot [\vec{\Delta} \times \vec{v}].$$ |
0.20 |
|
|
3
Верно записан момент сил трения, связанный со вращательным движением вокруг центра масс. $$- \gamma \cdot \vec{\omega} \cdot (r_1^2+r_2^2).$$ |
0.20 |
|
| 4 Указано, что $\vec{M}_{\text{out}}$ является суммой всех внешних моментов. | 0.10 |
|
| 1 Выполнен пункт. | 0.20 |
|
| 1 В уравнении вращательного движения выполнено пренебрежение моментом сил вязкого трения, связанным с движением центра масс. | 0.10 |
|
|
2
Найдено $A$: $$A = \dfrac{\gamma (m_1^2+m_2^2)}{(m_1+m_2) \cdot m_1 m_2}.$$ |
0.20 |
|
|
3
Найдено $B$. $$B = \dfrac{\Delta (m_1+m_2)^2 g}{m_1 m_2 l^2}.$$ |
0.20 |
|
|
1
Указано или используется $$T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{B - A^2/4}}.$$или $$T = \frac{2\pi}{\sqrt{B}}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$T = \dfrac{2 \pi}{\sqrt{ \dfrac{\Delta (m_1+m_2)^2 g}{m_1 m_2 l^2} - \dfrac{1}{4}\cdot \left( \dfrac{\gamma (m_1^2+m_2^2)}{(m_1+m_2) \cdot m_1 m_2} \right) ^2}}.$$или $$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\Delta (m_1 + m_2)^2g}{m_1m_2l^2}}}.$$ |
0.10 |
|
| 1 Используется $$\tau = \frac{1}{A}.$$ | 0.10 |
|
| 2 Получен ответ: $$\tau = \dfrac{(m_1+m_2) \cdot m_1 m_2}{\gamma (m_1^2+m_2^2)}.$$ | 0.10 |
|
| 1 Указано или используется $$Q = \dfrac{\sqrt{B}}{A}$$ Lили эквивалентное равенство. | 0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$Q = \sqrt{\dfrac{\Delta g}{m_1 m_2 l^2}}\dfrac{(m_1+m_2)^2 m_1 m_2}{\gamma \cdot \left( m_1^2+m_2^2 \right) }.$$ |
0.10 |
|
|
1
Получен ответ. \begin{equation} I = mR^2/2. \end{equation} |
0.10 |
|
| 1 Верно записано уравнение $\dot{\vec{L}} = \vec{M}_{\text{out}}$. | 0.20 |
|
| 1 Указан или используется тот факт, что момент силы тяжести поворачивает вектор $\vec{\omega}$ | 0.20 |
|
|
2
Верно связаны момент силы тяжести и изменение момента импульса гантели. $$|\Delta \vec{L}| = L\sin(\theta)\Delta \varphi = M_{\text{out}}\Delta t.$$ |
0.20 |
|
|
3
Получен ответ. $$\vec{\Omega} = -\frac{ml}{2L}\vec{g}.$$ |
0.10 |
|
| 1 Указано или используется, что на изменение модуля момента импульса влияет только лишь $\vec{M}_{\text{fric}}$. | 0.15 |
|
|
2
Найдена зависимость $|\vec{L}|(t)$. $$L = L_0e^{-\frac{\alpha}{I}t}.$$ |
0.15 |
|
| 1 Указано или используется факт о том, что момент силы трения из-за прецессионного движения опускает ось гантели. | 0.20 |
|
|
2
Верно вычислен момент силы вязкого трения, связанной с прецессионным движением: $$M_2 = l\cdot \gamma \Omega l \sin(\theta).$$ |
0.10 |
|
|
3
Верно записано дифференциальное уравнение для $\dot{\theta}$, содержащее $\Omega$: $$\frac{\dot{\theta}}{\sin(\theta)} = \Omega\frac{\gamma l^2}{L_0}e^{\frac{\alpha}{I}t}.$$ |
0.20 |
|
|
4
Подставлено выражение для $\Omega$: $$\frac{\dot{\theta}}{\sin(\theta)} = \frac{\gamma mgl^3}{2L_0^2}e^{\frac{2\alpha}{I}t}.$$ |
0.10 |
|
|
1
Получен ответ. $$\dot{\theta} = \frac{\gamma mgl^3\sin(\theta_0)}{2L_0^2}$$ |
0.20 |
|
| 1 Верно выполнено интегрирование без учёта начального условия. | 0.50 |
|
| 2 Учтено начальное условие. | 0.10 |
|
|
3
Из полученного выражения найдена зависимость $\theta(t)$. $$\theta = 2\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\left(\frac{\theta_0}{2}\right)e^{\frac{\gamma mgl^3I}{4\alpha L_0^2}\left(e^{\frac{2\alpha}{I}t} - 1\right) } \right)$$ |
0.20 |
|