Эта задача состоит из трёх независимых частей, объединённых общей темой: каждая из них посвящена конкретной проблеме, с которой можно столкнуться при фотографировании. Постарайтесь понять физику, стоящую за этими эффектами, и ответить на поставленные вопросы.

Часть A. Расфокусировка (2.0 балла)

На рисунке изображена камера, фотографирующая тонкую проволоку. Она состоит из двух плоскостей: передняя плоскость содержит в себе идеальную тонкую собирающую круглую линзу с фокусным расстоянием $f$ и диаметром $D$, задняя плоскость является экраном. Расстояние между плоскостями $l$. Фотография - перевёрнутое изображение, полученное на экране, поэтому введём системы координат как указано на рисунке: $xyz$ описывает положение объекта в пространстве, а $YZ$ – положение изображения на фотографии.

Изображение тонкой проволоки, полученное этой камерой, ограничено сверху и снизу прямыми $Z = \pm kY$, где $k > 0$ и не ограничено в обе стороны вдоль оси $Y$.

A1  ^2.00 Найдите положение и форму проволоки, если её длина минимальна.

Часть B. Роллинг-шаттер (3.0 балла)

При фотографировании быстродвижущихся объектов может возникать искажение изображения, связанное с неодновременностью считывания разных участков фотографии. Этот эффект получил название временной параллакс или роллинг-шаттер. Обычно считывание происходит построчно. Будем считать, что в нашей камере снимок регистрируется начиная с верхней части, все строки снимаются за одинаковое и крайне малое время, поэтому искажения отдельных строк учитывать не нужно. Известно, что полное время, уходящее на фотографирование, 10 мс. С помощью направленной вертикально вниз камеры сфотографировали шайбу диаметром 7.62 см, скользящую по гладкой горизонтальной поверхности.

B1  ^2.00 Используя циркуль и линейку без делений, постройте прямую, параллельную направлению скорости шайбы.

B2  ^1.00 Используя дополнительно линейку с делениями, найдите модуль скорости шайбы.

Часть C. Дисторсия (3.0 балла)

Рассмотрим фотографирование плоского экрана. Введём координаты на экране и на фотографии $(y,z)$ и $(Y,Z)$ соответственно. Для реалистичной передачи изображений на экране нужно, чтобы коэффициент линейного увеличения был постоянен на всей фотографии, то есть:
\[
\vec{R} = \alpha \vec r,\quad\text{где:}\quad \vec r = (y,z);\quad \vec R = (Y,Z).
\]
Рассмотрим простейшую камеру-обскуру. Она представляет собой два параллельных экрана, в одном из которых проделано малое отверстие. Свет, проходящий через это отверстие, формирует изображение на втором экране. Изображение любой точки пространства будет находится в месте пересечения луча, идущего из этой точки через отверстие, и экрана.

Расстояние между плоскостью фотографии и отверстием обозначим $l$, а расстояние между камерой и фотографируемым экраном $L$.

С1  ^0.50 Покажите, что линейное увеличение камеры-обскуры постоянно и найдите $\alpha$.

В большинстве случаев свойство линейности нарушается и наблюдается эффект дисторсии, то есть увеличение разное в разных точках фотографии. Рассмотрим дисторсию третьего порядка параксиальных лучей:
\[
\vec R = f(r) \vec r \approx \alpha \vec r + \beta r^2 \vec r.
\]

С2  ^0.50

Нарисуйте качественный вид фотографии части тетрадного листа, изображённой на рисунке ниже, в случаях $\beta > 0$ (положительная дисторсия) и $\beta < 0$ (отрицательная дисторсия). Считайте, что $\alpha > 0$.

Опять рассмотрим камеру-обскуру. Пусть в этот раз между камерой и экраном находится плоский аквариум толщины $h$, заполненный жидкостью с показателем преломления $n$. Остальное пространство заполнено воздухом с показателем преломления $n_0 = 1$.

C3  ^2.00 Определите коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ в этом случае. Какая дисторсия наблюдается в такой системе: положительная ($\alpha$ и $\beta$ одного знака) или отрицательная ($\alpha$ и $\beta$ разных знаков)?