A1  ^?? отношение частоты $\nu_M$, при которой активная мощность $P_{\max}$, выделяемая в цепи, максимальна, к разности частот $\Delta\nu=\nu_+-\nu_-$, где $\nu_+$ и $\nu_-$ – частоты, при которых активная мощность равна половине максимальной мощности $P_{\max}$.

Вычислим силу тока $I$, протекающего через источник тока, воспользовавшись методом векторных диаграмм (рис. 133):

$$
\begin{aligned}
I=\sqrt{I_{R}^{2}+\left(I_{L_{1}}+I_{L_{2}}-I_{C_{1}}-I_{C_{2}}\right)^{2}} =U \sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\left(\frac{1}{\omega L_{1}}+\frac{1}{\omega L_{2}}-\omega C_{1}-\omega C_{2}\right)^{2}}
\end{aligned}
$$
По условию задачи амплитуда этого тока поддерживается постоянной при любой частоте генератора: $I=I_{0}$.

Введя эквивалентную индуктивность двух параллельно соединенных катушек $\dfrac{1}{L}=\dfrac{1}{L_{1}}+\dfrac{1}{L_{2}}$ и эквивалентную емкость двух параллельно соединенных конденсаторов $C=C_{1}+C_{2}$, получим

$$
U=\frac{I_{0} R}{\sqrt{1+R^{2}(1 / \omega L-\omega C)^{2}}}
$$
Средняя активная мощность $P$ за период равна

$$
P=\frac{U^{2}}{2 R}=\frac{I_{0}^{2} R}{2} \frac{1}{1+R^{2}(1 / \omega L-\omega C)^{2}}
$$
Отсюда ясно, что активная мощность; передаваемая цепи от источника тока, максимальна при выполнении условия:

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{\omega_{M} L}-\omega_{M} C=0 \\
\omega_{M}=\frac{1}{\sqrt{{L C}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{L_{1} L_{2}}{L_{1}+L_{2}}\left(C_{1}+C_{2}\right)}}=10^{5} ~рад/с
\end{gathered}
$$
Условие, при котором активная мощность $P\left(\omega_{ \pm}\right)$равна половине максимальной мощности $P_{\max }$ :

$$
P\left(\omega_{ \pm}\right)=P_{\max } / 2 \quad \text { (рис. 134); }
$$
можно записать в виде:

$$
R^{2}\left(\frac{1}{\omega L}-\omega C\right)^{2}=1
$$
Отсюда получаем уравнение

$$
\omega^{4}-\omega^{2}\left(\frac{2}{L C}+\frac{1}{R^{2} C^{2}}\right)+\frac{1}{L^{2} C^{2}}=0
$$
Согласно теореме Виета

$$
\begin{aligned}
& \quad\left\{\begin{array}{c}
\omega_{+}^{2}+\omega_{-}^{2}=\dfrac{2}{L C}+\dfrac{1}{R^{2} C^{2}}, \\
\omega_{+}^{2} \omega_{-}^{2}=\dfrac{1}{L^{2} C^{2}} \Rightarrow \omega_{+} \omega_{-}=\dfrac{1}{L C} ;
\end{array}\right. \\
& \Delta \omega=\omega_{+}-\omega_{-}= \sqrt{\left(\omega_{+}-\omega_{-}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\omega_{+}^{2}+\omega_{-}^{2}-2 \omega_{+} \omega_{-}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{L C}+\frac{1}{R^{2} C^{2}}-\frac{2}{L C}}=\frac{1}{R C}
\end{aligned}
$$
Следовательно, искомое значение отношения $\nu_{M} / \Delta \nu$ равно

$$
\dfrac{\nu_{M}}{\Delta \nu}=\dfrac{\omega_{M}}{\Delta \omega}=\frac{1 \cdot R C}{\sqrt{L C}}=R \sqrt{\frac{C}{L}}=R \sqrt{\frac{\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(L_{1}+L_{2}\right)}{L_{1} L_{2}}}=150
$$

B1  ^?? частоту свободных электромагнитных колебаний в цепи $L_1C_1C_2L_2$;

Представив контур $L_{1} C_{1} C_{2} L_{2}$ в виде эквивалентного контура $L C$; где

$$
L=\frac{L_{1} L_{2}}{L_{1}+L_{2}}, \quad C=C_{1}+C_{2}
$$
получим, что частота свободных электромагнитных колебаний в нем равна

$$
\nu_{0}=\frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}=\frac{1}{2 \pi \sqrt{\left(C_{1}+C_{2}\right) \frac{L_{1} L_{2}}{L_{1}+L_{2}}}}=15.9 ~кГц
$$
Этот же результат можно получить, используя п. а): максимальная активная мощность выделяется при совпадении частоты $\nu_{M}$ колебаний приложенного напряжения с собственной частотой колебаний. Заметим, что, так как $L_{1} C_{1}=L_{2} C_{2}$ $(10~мГн\cdot 10~нФ=20~мГн\cdot 5~нФ)$, то частоты свободных колебаний контуров $L_{1} C_{1}$ и $L_{2} C_{2}$ совпадают:

$$
\nu_{1}=\nu_{2}=\frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{1} C_{1}}}=\frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{2} C_{2}}},
$$
т. е. колебания в них происходят независимо друг от друга.

Вместе с тем этот факт не препятствует существованию кольцевого тока $I$, который может без затухания течь через катушки $L_{1}$ и $L_{2}$. Причиной его возникновения могло быть, например, изменение внешнего магнитного поля.

B2  ^?? силу тока на участке контура $AB$;

Если ток на участке цепи $A B$ существует, то он как раз и является постоянным кольцевым током $I_{A B}$, протекающим через катушки $L_{1}$ и $L_{2}$. Для постоянного тока достаточно найти одно значение в момент времени $t_{0}$.

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 135. Из первого закона Кирхгофа следует, что

$$
I_{A B}=i_{01}+i_{C_{1}}=-i_{C_{2}}-i_{02}, \quad i_{C_{1}}+i_{C_{2}}=-\left(i_{01}+i_{02}\right) .
$$

Учтя, что

$$
i_{C_{1}}=\frac{d Q}{d t}=C_{1} \frac{d U}{d t}, \quad i_{C_{2}}=C_{2} \frac{d U}{d t},
$$
получим

$$
\begin{gathered}
i_{C_{1} }/ i_{C_{2}}=C_{1} / C_{2}, \\
i_{C_{1}}=\left(i_{C_{i}}+i_{C_{2}}\right) \frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}=-\left(i_{01}+i_{02}\right) \frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}, \\
I_{A B}=i_{01}+i_{C 1}=i_{01}-\left(i_{01}+i_{02}\right) \frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}, \\
I_{A B}=-0.1 \mathrm{~A} .
\end{gathered}
$$
Следовательно, ток течет от точки $B$ к точке $A$ и равен $I_{B A}=0.1 ~А$.

B3  ^?? амплитуду колебаний силы тока в катушке $L_1$.

Указание: взаимной индукцией катушек $L_1$ и $L_2$ можно пренебречь.
 

Поскольку колебания в контурах $L_{1} C_{1}$ и $L_{2} C_{2}$ ие зависят друг от друга, вычислим амплитуду колебаний силы тока $I_{01}$ в катушке $L_{1}$, применив закон сохранения энергии к первому контуру для момента времени $t_{0}$.

Учтем также, что вследствие линейности уравнений $U(t), \quad I(t)$, $Q(t)$ колебания не зависят и от наличия кольцевого тока $I_{A B}$ в цепи $L_{1} L_{2}$, нужно только вычесть его из $i_{01}$, чтобы получить мгновенное значение колебания силы тока $i_{1}$ в катушке $L_{1}$ :

$$
i_{\mathrm{1}}=i_{0 \mathrm{1}}-I_{A B}, \quad \frac{L_{\mathrm{1}} I_{01}^{2}}{2}=\frac{L_{\mathrm{1}}}{2}\left(i_{01}-I_{A B}\right)^{2}+\frac{C_{\mathrm{1}} U_{0}^{2}}{2} .
$$
Отсюда для амплитуды колебаний силы тока в катушке $L_{\mathbf{1}}$ получаем

$$
I_{01}=\sqrt{\left(l_{01}-I_{A B}\right)^{2}+\frac{C_{1}}{L_{1}} U_{0}^{2}} \approx 0.204 \mathrm{~A}
$$