A1  ^?? Определите длину волны излучения, падающего на систему призм, если волна распространяется без преломления на границе $AC$ при любом угле падения ее на грань $AD$. Определите также значения показателей преломления $n_1$ и $n_2$ для этой длины волны.

Для того чтобы пучок света с длиной волны $\lambda_{0}$ не преломлялся на границе $A C$ при любом угле падения на грань $A D$, показатели преломления должны быть равны: $n_{1}=n_{2}$, следовательно,


$$
a_{1}+b_{1} / \lambda_{0}^{2}=a_{2}+b_{2} / \lambda_{0}^{2}, \quad \lambda_{0}=\sqrt{\frac{b_{1}-b_{2}}{a_{2}-a_{1}}}=500~нм
$$
При этом

$$
n_{1}=n_{2}=n_{0}=a_{i}+b_{i} / \lambda_{0}^{2}=1.5
$$

A2  ^?? Нарисуйте ход лучей в системе призм для трех различных длин волн $\lambda_{кр} > \lambda_0$, $\lambda_0$, $\lambda_{ф} < \lambda_0$, если угол падения для всех трех волн на грань $AD$ одинаков.

Приняв длину волны красного цвета $\lambda_{к р}=800$ нм, а фиолетового $\lambda_{ф}=400~нм$, получим:


$$
n_{1 к \mathrm{p}}=a_{1}+b_{1} / \lambda_{кр}=1.26, \quad n_{2 кр}=a_{2}+b_{2} / \lambda_{кр}=1.38
$$
Аналогично найдем

$$
n_{1 ф}=1,73, \quad n_{2 ф}=1.61
$$
То есть показатель преломления второй призмы для красного цвета больше, чем для первой, а для фиолетовой - наоборот. Учтя это, нарисуем качественно ход лучей в призме (рис. 136).

A3  ^?? Определите угол наименьшего отклонения системой призм света с длиной волны $\lambda_0$.

При длине волны падающего света, для которой выполняется условие $n_{1}=n_{2}$, две призмы эквивалентны одной призме с преломляющим углом $\hat{A}_{0}=30^{\circ}$.

Легко видеть, что угол отклонения луча $\theta$ такой призмой будет минимальным, если угол, под которым луч падает на переднюю грань призмы ( $A D$ ), равен углу, под которым он выходит из задней грани ( $B C$ ) (рис. 137), т. е.

$$
\begin{gathered}
n_{0}=\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}=\frac{\sin \left(\hat{A}_{0}+\theta_{\min }\right) / 2}{\left.\sin \left(\hat{A}_{0}\right) / 2\right)} \\
\hat{\theta}_{\min }=2 \arcsin \left[n_{0} \sin \left(\hat{A}_{0} / 2\right)\right]-\hat{A}_{0}= 15^{\circ} 40^{\prime}
\end{gathered}
$$

A4  ^?? Определите длину волны излучения, падающего на систему призм параллельно основанию $DC$ и выходящего из нее также параллельно основанию $DC$.

На рис. 138 показан ход луча, удовлетворяющего условиям задачи. Запишем законы преломления для этого луча:

$$
\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin \beta}=n_{1} ; \quad \frac{\sin \left(60^{\circ}-\beta\right)}{\sin 30^{\circ}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}
$$
Подставляя выражения для показателей преломления, данные по условию задачи: $n_{1}=a_{1}+b_{1} / \lambda^{2}, n_{2}=a_{2}+b_{2} / \lambda^{2}$, получаем уравнение

$$
\begin{gathered}
\lambda^{4}\left(3 a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{2}-1\right)+\lambda^{2}\left(6 a_{1} b_{1}-2 a_{2} b_{2}-b_{2}\right)+\left(3 b_{1}^{2}-b_{2}^{2}\right)=0, \\
0,36 \lambda^{4}-4,8 \cdot 10^{5} \lambda^{2}-2,75 \cdot 10^{10}=0 .
\end{gathered}
$$
Решение этого биквадратного уравнения дает ответ задачи: $\lambda \approx 1200~нм$.