1.1  ^?? Зафиксируйте вал мотора и подайте на него напряжение, приблизительно равное $0{,}5~В$. Измерьте значение силы тока, текущего через мотор, и напряжение на нем. Рассчитайте сопротивление обмоток мотора. Проведите измерения при 5 разных положениях вала мотора. Усредните полученные значения. Зарисуйте схему подключения измерительных приборов.

Для питания мотора будем использовать регулируемый блок питания. Подключим также амперметр и вольтметр для точного измерения тока и напряжения.

Зафиксируем вал мотора. Подадим на него напряжение и измерим показания приборов. Рассчитаем сопротивление обмоток мотора:$$
R=\frac{U}{I}
$$Повторим измерения для разного положения вала мотора и усредним значения. Видно, что значения мало отличаются друг от друга. Однако, можно заметить, что при некоторых положениях мотора получаются совершенно другие значения. В этих положениях коллектор мотора находится в положении переключения между обмотками.
Приборная погрешность измерения напряжения и тока составляет $1\%$ от измеряемой величины, тогда погрешность сопротивления составит $2\%$. На фоне приборной погрешности случайная погрешность измерения сопротивления мала. Таким образом, сопротивление обмоток мотора составит:
$$
R=(6{,}14\pm0{,}12) \ Ом.
$$

$U,\ В$	$I,\ мА$	$R,\ Ом$
0,500	81,6	6,13
0,504	81,9	6,15
0,504	82,0	6,15
0,496	80,6	6,15
0,502	81,7	6,14

1.2  ^?? Наденьте колесо на вал редуктора. Подайте на мотор с надетым редуктором напряжение, превышающее $U_{\min} =0{,}7~В$, но не более $U_{\max}=4{,}5~В$. Измерьте для семи различных значений поданного напряжения ток, текущий через мотор, и частоту вращения колеса, приводимого в движение редуктором.

Закрепим мотор с подключенным редуктором в лапке штатива. На колесе редуктора сделаем отметку, наклеив небольшой кусок изоленты. Подадим напряжение на мотор большее $U_{min}$, мотор станет вращаться. Измерим силу тока, текущего через мотор, и время совершения колесом $k$ оборотов. Повторим процедуру для 7 возможных значений подаваемого напряжения. Занесем данные в таблицу.

$t, \ с$	$k$	$U, \ В$	$I, \ мA$	$U_{ind}, \ В$	$f, \ Гц$	$\sigma_{U_{ind}}, \ В$	$\sigma_f, \ Гц$
16,94	5	0,740	50,8	0,43	0,295	0,02	0,005
11,81	5	1,018	53,2	0,69	0,423	0,02	0,011
14,34	10	1,504	58,5	1,14	0,697	0,03	0,015
9,87	10	2,05	57,7	1,70	1,013	0,03	0,031
15,47	20	2,54	64,8	2,14	1,293	0,04	0,025
11,91	20	3,03	71,2	2,59	1,679	0,04	0,042
19,41	40	3,52	77,3	3,04	2,061	0,05	0,032

1.3  ^?? Рассчитайте значение ЭДС индукции мотора для каждой из измеренных точек и постройте график зависимости частоты вращения колеса от ЭДС индукции мотора. Какой функцией описывается измеренная зависимость? Аппроксимируйте экспериментальные точки данной функцией и рассчитайте ее коэффициенты (или коэффициент).

Рассчитаем для каждого значения поданного напряжения ЭДС индукции в моторе:
$$
U_{ind}=U-IR.
$$Погрешность оценим как:
$$
\sigma_{U_{ind}}=\sigma_U+I\sigma_R+R\sigma_I.
$$Также рассчитаем частоту вращения:
$$
f=\frac{k}{t}.
$$Погрешность частоты рассчитаем как:
$$
\sigma_f=f\frac{\sigma_t}{t},
$$где $\sigma_t=0{,}3 \ с$ — характерное время реакции человека.

Построим график зависимости частоты вращения от ЭДС индукции.

Видно, что график можно описать прямой пропорциональностью как и предсказывает закон Фарадея. Угловой коэффициент графика составляет $\alpha=(0{,}65\pm0{,}02) \ Гц/В$.

1.4  ^?? Привяжите к колесу леску. Используйте для этого два просверленных отверстия в колесе. Подайте напряжение на мотор, так чтобы колесо редуктора вращалось. Измерьте силу тока $I$, текущего через мотор. Остановите мотор. Привяжите к концу лески грузик массой $50~г$. Подайте то же самое напряжение на мотор. Если ограничение силы тока источника питания не позволяет привести в движение колесо, подтолкните его рукой. Измерьте силу тока $I'$, текущего через мотор в этом случае. Рассчитайте разность измеренных сил тока $\Delta I=I'-I$. Проделайте данный эксперимент для нескольких значений поданного напряжения и усредните измеренные разности тока.

Измерим силу тока, текущего через мотор, когда к нему подключен редуктор, не нагруженный грузом. Привяжем к колесу леску, подвесим груз и вновь измерим значение силы тока при том же напряжении на моторе. Рассчитаем разность величин сил тока $\Delta I$. Проведем измерения для разных значений напряжения.

$I, \ мА$	$I', \ мА$	$\Delta I, \ мА$
66	136	70
67	155	88
74	146	72
81	154	73
78	147	69
67	157	90
81	168	87

Усредним полученное значение:

$$
\Delta I_{ср}=(78\pm10) \ мА.
$$

1.5  ^?? Рассчитайте отношение $\beta$ момента силы (относительно оси вращения), действующего на колесо со стороны груза, к приращению силы тока $\Delta I$. Определите теоретически, какой должна быть эта величина $\beta_{theor}$, если ее рассчитать из коэффициента(-ов), найденного(-ых) в пункте 1.3. В теоретических расчетах предполагайте, что момент силы трения в редукторе не зависит от скорости вращения мотора и нагрузки на нем. Сравните полученные значения $\beta$ и $\beta_{theor}$.

Измерим диаметр колеса $D=(6{,}3\pm0{,}1) \ см$. Тогда дополнительный момент сил, действующий на колесо будет равен:
$$
M=mg\frac{D}{2}=(1{,}568\pm0{,}025) \ Н\cdot см.
$$Погрешность оценим как:
$$
\sigma_M=M\frac{\sigma_D}{D}.
$$

Рассчитаем отношение момента силы, действующего на колесо, и приращения силы тока:
$$
\beta=\frac{M}{\Delta I}=(0{,}20\pm0{,}03) \ Н\cdot м/А.
$$Рассчитаем погрешность как:
$$
\sigma_\beta=\beta\left(\frac{\sigma_M}{M}+\frac{\sigma_{\Delta I}}{\Delta I}\right).
$$

Для вывода соотношения между $\alpha$ и $\beta$ запишем второй закон Кирхгофа для мотора:
$$
U=IR+U_{ind}=IR+\frac{f}{\alpha}.
$$Умножим полученное соотношение на силу тока:
$$
IU=I^2R+\frac{If}{\alpha}.
$$Выражение слева представляет полную мощность, поступающую в мотор от источника питания. Часть мощности тратится на тепловыделение в обмотках мотора и выражается как:
$$
N_{тепл}=I^2R.
$$Оставшееся выражение представляет из себя механическую мощность, которую можно представить как:
$$
N_{мех}=M\omega=2\pi fM.
$$Или с учетом введенного коэффициента $\beta$:
$$
N_{мех}=2\pi\beta I f.
$$Отсюда теоретическая связь между коэффициентами:
$$
\frac{If}{\alpha}=2\pi\beta I f.
$$$$
\beta_{theor}=\frac{1}{2\pi\alpha}=(0,245\pm0,007) \ Н\cdot м/А.
$$Погрешность оценим как:
$$
\sigma_{\beta_{theor}}=\beta_{theor}\cdot\frac{\sigma_\alpha}{\alpha}.
$$Заметим, что полученное экспериментально значение $\beta$ не совпадает с предсказанным теоретически. Скорее всего это связано с тем, что при подвешивании груза меняется момент сил трения в редукторе.

1.6  ^?? Редуктор, прикрепленный к мотору, вращает колесо с частотой в $n$ раз меньшей частоты вращения основного вала мотора. Измерьте коэффициент редукции $n$. Подробно объясните метод измерения.

Для измерения коэффициента редукции отключим мотор от источника питания, и подсоединим к валу мотора, выступающему с его тыльной стороны, шкив. Будем вращать шкив и наблюдать за вращением колеса редуктора. Подсчитаем, количество оборотов шкива $n=48$, отвечающее полному обороту колеса редуктора. Именно эта величина и будет являться коэффициентом редукции. На первый взгляд может показаться, что полному обороту колеса соответствует 50 оборотов шкива. Однако, если провести аккуратные измерения и провернуть колесо редуктора таким методом на несколько оборотов, то можно убедиться, что коэффициент редукции равен именно 48.

2.1  ^?? При некоторых различных частотах вращения вала мотора леска будет принимать форму стоячей волны с разным количеством $N$ пучностей. Добейтесь максимума амплитуды стоячей волны для каждого значения $N=1, ~2, ~3, ~4, ~5, ~6$. Определите частоты $\nu$ вращения вала мотора в этих состояниях.

 

Примечание: возможно, наблюдения будет более удобно вести на фоне белого листа бумаги.

Снимем редуктор с мотора, поменяем шестерню на вале двигателя на шкив. Привяжем к шкиву леску, на конце которой закрепим груз массой 5 г. Установим мотор так, чтобы шкив оказался в горизонтальной плоскости. Запустим вращение мотора. Добьемся того, чтобы на вращающейся леске наблюдалась одна пучность. Подберем напряжение питания таким образом, чтобы амплитуда в пучности была максимальной. Запишем значения напряжения на моторе и тока текущего через него. Рассчитаем частоту вращения мотора как:
$$
\nu=fn=n\alpha(U-IR).
$$ Погрешность расчета частоты оценим как:
$$
\sigma_\nu=\nu\left(\frac{\sigma_\alpha}{\alpha}+\frac{\sigma_U+I\sigma_R+R\sigma_I}{U-IR}\right)
$$Погрешность тока будем считать равной 1 мА, так как показания амперметра отклоняются от среднего значения с течением времени приблизительно с такой амплитудой. Относительную погрешность измерения напряжения будем считать равной $1\%$.
Проведем следующие опыты так, чтобы на леске наблюдалось несколько пучностей. Занесем данные в таблицу.

$N$	$U, \ В$	$I, \ A$	$\nu, \ Гц$	$\sigma_\nu, \ Гц$
1	0,59	54	8,1	0,9
2	0,85	54	16,2	1,2
3	1,23	68	25,3	1,6
4	1,4	65	31,2	1,9
5	2,05	106	43,7	2,6
6	2,46	123	53,2	3,1

2.2  ^?? Согласно теории стоячих волн, при резонансе на расстоянии между двумя закрепленными концами лески должно укладываться целое число длин стоячих волн $\lambda_{st}$ (или, что то же самое, целое число половин длин волн $\lambda$ бегущих волн):$$
L_0=N\lambda_{st}=N\frac{\lambda}{2}.
$$Построив график зависимости $\nu(N)$, проверьте это теоретическое предсказание.

Построим график измеренной зависимости.

Видно, что график легко описать прямой пропорциональностью. То есть частота вращения прямо пропорциональна количеству пучностей в форме вращения, что подтверждает теоретическое предсказание.

2.3  ^?? Измерьте зависимость длины стоячей волны от частоты вращения вала мотора. При данных измерениях не обязательно попадать именно в резонансные частоты, существенным обстоятельством является стационарная форма лески при ее вращении. В каких координатах зависимость является линейной функцией? Проверьте ваше предположение графически.

Рассчитайте скорость распространения поперечных волн по леске. Не забудьте, что длина стоячей волны $\lambda_{st}$ в два раза меньше длины бегущей волны $\lambda$.

Измерим зависимость длины стоячей волны от частоты вращения вала мотора. При этих измерениях не обязательно попадать в резонансные частоты. Пересчитаем частоты в периоды вращения:
$$
\tau=\frac{1}{\nu}.
$$Погрешности периода рассчитаем как:
$$
\sigma_\tau=\tau\frac{\sigma_\nu}{\nu}.
$$Погрешность измерения длины полуволны оценим как $\sigma_{\lambda_{st}}=1 \ см$.
Построим график зависимости $\lambda (\tau)$.

$\lambda_{st}, \ см$	$U, \ В$	$I, \ А$	$\nu, \ Гц$	$\sigma_\nu, Гц$	$\tau, \ мс$	$\sigma_\tau, \ мс$	$\lambda, м$
106	0,59	54	8,1	0,9	124	13,4	2,12
53	0,85	54	16,2	1,2	62	4,5	1,06
35	1,23	68	25,3	1,6	39	2,6	0,70
27	1,40	65	31,2	1,8	32	1,9	0,54
21	2,05	106	43,7	2,6	23	1,4	0,42
18	2,46	123	53,2	3,1	19	1,1	0,36

Видно, что график описывается прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом $v=(17\pm1) \ м/с$. Угловой коэффициент графика имеет смысл скорости распространения поперечных волн в леске.

2.4  ^?? Скорость распространения поперечных волн $v$ зависит от погонной плотности $\rho$ лески и ее силы натяжения $T$ как: $$ v=A\rho^i (T+T_0)^j, $$ где $T_0$ — постоянная сила, отвечающая за изгибную жесткость лески, численный коэффициент $A$ равен единице.

Методом размерности получите величины $i$ и $j$.

Скорость распространения волн зависит от погонной плотности лески и от силы ее натяжения. Запишем данную в условии формулу с точки зрения размерностей: $$
\frac{м}{с}=\frac{кг^i}{м^i}Н^j=\frac{кг^i}{м^i}\cdot\frac{кг^j м^j}{с^{2j}}.
$$Легко сделать вывод, что $j=0{,}5$ и $i=-0{,}5$.
То есть формулу можно записать как:
$$
v=\sqrt{\frac{T+T_0}{\rho}}
$$

2.5  ^?? Проведите аналогичные пункту 2.3 измерения для оставшихся грузов. Найдите резонансные частоты вращения для $N=1, \ 2,\ 3$. Определите скорости распространения волн по леске при разных силах натяжения.

 

Постройте необходимые зависимости на одном графике.

 

Примечание: при измерениях частоты вращения вала для случая трех пучностей на леске, натянутой грузом $25~г$, могут возникнуть трудности. Для того, чтобы добиться устойчивого вращения лески, слегка придержите ее на расстоянии $2-3~ см$ от места подвеса груза.

Проведем измерения, аналогичные пункту 2.3, для определения скорости распространения волн при разных силах натяжения лески.

$m, \ г$	$\lambda/2, \ см$	$U, \ В$	$I, \ А$	$\nu, \ Гц$	$\sigma_\nu, Гц$	$\tau, \ мс$	$\sigma_\tau, \ мс$	$\lambda, м$
10	106	0,73	56	12,0	1,0	83,4	7,2	2,12
10	53	1,22	68	24,9	1,6	40,1	2,6	1,06
10	35	1,62	74	36,2	2,1	27,6	1,6	0,70
10	27	2,21	95	50,5	2,8	19,8	1,1	0,54
25	106	1,05	67	19,8	1,4	50,4	3,6	2,12
25	53	2,00	117	39,8	2,5	25,1	1,6	1,06
25	35	2,99	145	65,2	3,7	15,3	0,9	0,70
36	106	1,26	74	25,0	1,7	40,0	2,7	2,12
36	53	2,26	98	51,5	2,9	19,4	1,1	1,06
36	35	3,16	128	73,7	4,0	13,6	0,7	0,70
50	106	1,44	78	29,8	1,9	33,5	2,1	2,12
50	53	2,58	110	59,1	3,3	16,9	0,9	1,06
50	35	3,81	161	87,6	4,7	11,4	0,6	0,70

Занесем полученные данные в таблицу.

$m, \ г$	$v, \ м/с$	$\sigma_v, \ м/с$	$v^2/10^3, \ (м/с)^2$	$\sigma_{v^2}/10^3, \ (м/с)^2$
5	17	1	0,29	0,03
10	26	1	0,68	0,05
25	42	2	1,76	0,17
36	53	2	2,81	0,21
50	63	3	3,97	0,38

2.6  ^?? Постройте график зависимости $v$ от $m$ в координатах, в которых он должен быть линейной функцией. Рассчитайте по угловому коэффициенту графика значение погонной плотности лески и величину $T_0$.

Сила натяжения лески равна силе тяжести груза $T=mg$. Тогда формула, описывающая скорость распространения волн, может быть записана как:
$$
v=\sqrt{\frac{mg+T_0}{\rho}}
$$В соответствии с приведенной в условии формулой исследованная зависимость должна оказаться линейной в координатах $v^2(m)$. Рассчитаем значения квадратов скоростей. Оценим погрешность их измерения как:
$$
\sigma_{v^2}=2v\sigma_v.
$$Построим соответствующий график.

График легко описать линейной функцией с угловым коэффициентом $\gamma=(77\pm3)\cdot10^3\frac{м^2}{кг\cdot с^2}$. При этом свободный член этой линейной функции близок к нулю, что математически говорит о равенстве нулю коэффициента $T_0$. Физически это означает малое влияние на распространение волн в леске ее изгибной жесткости при исследованных силах натяжения.
Рассчитаем погонную плотность лески:
$$
\rho=\frac{g}{\gamma}=(0{,}127\pm0{,}005)\ г/м.
$$Погрешность оценим как:
$$
\sigma_\rho=\rho\frac{\sigma_\gamma}{\gamma}.
$$