1  ^?? Под каким углом к горизонту и в каком направлении следует тянуть за конец ленты, чтобы сила, при которой лента начнёт отрываться от стола, была минимальной?

Когда приложенная сила $F$ постоянна по величине и направлению, угол наклона оторванной части ленты $\alpha$ также постоянен. Если внешняя сила достаточна по величине и приводит к отрыву части ленты малой длины $\Delta l$, точка, к которой приложена внешняя сила, перемещается на расстояние $\Delta x$, совершая при этом работу, которую можно связать с величиной $\sigma$ и площадью ленты оторвавшейся части ленты $\Delta S=d\cdot\Delta l$:
\[
\Delta A =\Delta x\cdot F=\sigma\cdot \Delta S=\sigma\cdot d\cdot\Delta l. \tag{1}
\]

Перемещение точки приложения силы $\Delta x$ может быть выражено через $\Delta l$ и $\alpha$:
\[
\Delta x=\Delta l\cdot (1-\cos\alpha). \tag{2}
\]

Подставляя $(2)$ в $(1)$, получаем выражение для силы $F=F(\alpha)$, необходимой для отрывания ленты от стола под некоторым углом:
$$F=\frac{\sigma d}{1-\cos\alpha}.$$

Сила принимает минимальное значение при максимальном знаменателе $1-\cos\alpha=2$, то есть при $\alpha=\pi$.

2  ^?? Один из концов ленты частично оторвали от стола и прикрепили к нему невесомую нить, переброшенную через маленький (по сравнению c длинами нити и ленты) невесомый блок, расположенный на высоте $H = 1~м$, как показано на рисунке. При этом угол между нитью и горизонтом составил $\alpha_1 = 45^{\circ}$. К другому концу нити прикрепили груз. При какой максимальной массе груза $m$ система будет покоиться?

Теперь рассмотрим второй случай. Силы натяжения ленты и нити равны по модулю, так что будем их обозначать $T$. Из условия равновесия груза $T = mg$.

Очевидно, что если сила натяжения $T$ не превышает силу отрыва ленты для угла $\alpha_1$, то лента не будет отрываться и система будет покоиться. Максимальная сила $T$, которая может быть достигнута при равновесии системы $T=\sigma d/(1-\cos\alpha_1)$. Тогда масса груза равна
$$m=\frac{\sigma d}{(1-\cos\alpha_1)\cdot g} \approx 0{,}068~кг.$$

3  ^?? К первому грузу с максимально возможной массой $m$ из предыдущего пункта прикрепили второй с неизвестной массой $M$ и отпустили без начальной скорости. Лента стала отрываться, и система пришла в движение. Спустя некоторый промежуток времени грузы остановились, а наклонный участок ленты оказался под углом $\alpha_2 = 30^{\circ}$ к горизонту. Найдите массу второго груза $M$, расстояние $\Delta h$, на которое в результате сместились грузы, а также модули ускорений грузов в момент начала движения $a_1$ и в момент остановки $a_2$.

Теперь рассмотрим случай добавления груза массой $M$. Для начала определим длину участка ленты $\Delta L$, который оторвался от стола до момента остановки грузов. Его можно выразить через высоту блока $H$ и углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$:
$$ \Delta L = \frac{H}{\operatorname{tg}\alpha_2}-\frac{H}{\operatorname{tg}\alpha_1} \approx0{,}732\cdot H=0{,}732~м.$$

Для нахождения $\Delta h$ используем условие на сохранение полной длины нити и ленты (ввиду их нерастяжимости):
$$\Delta L + L_1 = L_2 + \Delta h,$$ где $L_1=H/\sin\alpha_1$ и $L_2=H/\sin\alpha_2$ — это расстояния от блока до точки отрыва ленты от стола в начальный и конечный момент соответственно. Тогда
$$ \Delta h = \frac{H}{\operatorname{tg}\alpha_2} - \frac{H}{\operatorname{tg}\alpha_1}
+ \frac{H}{\sin\alpha_1} - \frac{H}{\sin\alpha_2} = $$$$ = H\left( \frac{1-\cos\alpha_1}{\sin\alpha_1} - \frac{1-\cos\alpha_2}{\sin\alpha_2} \right) \approx 0{,}146 \cdot H = 0{,}146~м.$$

Положение, в котором остановится система, определяется законом изменения полной механической энергии: изменение потенциальной энергии груза (кинетическая энергия в крайних положениях равна нулю) равно работе по отрыву ленты:
$$(m+M)g\cdot \Delta h=A=\sigma d \Delta L.$$
Отсюда
$$M=\frac{\sigma d \Delta L}{g\Delta h}-m\approx0{,}032\text{ кг}=32~г.$$

Ускорения грузов в начальный и конечный моменты времени находятся из второго закона Ньютона:
$$ (m+M)a_1=(m+M)g-T(\alpha_1)$$или
$$ (m+M)a_1=(m+M)g-\frac{\sigma d}{1-\cos\alpha_1}. $$
Искомые значения:
$$ a_1=g-\frac{\sigma d}{(m+M)(1-\cos\alpha_1)}\approx3{,}2~м/с^2,$$
и
$$ a_2=\frac{\sigma d}{(m+M)(1-\cos\alpha_2)}-g\approx4{,}9~м/с^2.$$

Заметим, что после остановки ускорения грузов будут равны нулю.