Пусть ось $x$ горизонтальна и направлена от спицы, ось $y$ направлена вверх вдоль спицы. Начало координат находится к точке начального положения заряда.
Запишем проекции второго закона Ньютона:
\[
\left\{\hspace{-3pt}
\begin{array}{*{20}c}
{m\ddot{x} = -kx + qvB \cos\left(90^{\circ} - \alpha\right)}, \hfill \\
{m\ddot{y} = - qvB \sin\left(90^{\circ} - \alpha\right)}. \hfill \\
\end{array}
\right.
\]
Преобразуем полученные уравнения:
\[
\left\{ \hspace{-3pt}
\begin{array}{*{20}c}
{m\ddot{x} = -kx + qvB \sin\left(\alpha\right)}, \hfill \\
{m\ddot{y} = -qvB \cos\left(\alpha\right)}. \hfill \\
\end{array}
\right.
\]
\[
\left\{ \hspace{-3pt}
\begin{array}{*{20}c}
{m\ddot{x} = -kx + qB\dot{y}}, \hfill \\
{m\ddot{y} = -qB\dot{x}}. \hfill \\
\end{array}
\right.
\]
Способ 1.
Продифференцируем по времени первое уравнение системы. Тогда
$$m\dddot{x} = -k\dot{x} + qB\ddot{y},$$$$\dddot{x} + \left[\frac{k}{m} + \left(\frac{qB}{m}\right)^2\right] \dot{x} = 0.$$
Обозначим $\beta^2=\frac{k}{m} + \left(\frac{qB}{m}\right)^2 $:
$$\dddot{x} + \beta^2 \dot{x} = 0.$$
Откуда
$$\dot{x}(t) = C_1 \cos \left( \beta t \right) + C_2 \sin\left(\beta t\right).$$
Начальные условия:
\[
\left\{ \hspace{-3pt}
\begin{array}{*{20}c}
{\dot{x}(0) = v_0 \Rightarrow C_1 = v_0}, \hfill \\
{\ddot{x}(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0}. \hfill \\
\end{array}
\right.
\]
Таким образом,
\[
\left\{ \hspace{-3pt}
\begin{array}{*{20}c}
{\dot{x}(t) = v_0 \cos \left( \beta t \right)}, \hfill \\
{x(t) = \frac{v_0}{\beta} \sin\left(\beta t\right)}, \hfill \\
{\dot{y}(t) = \frac{-qBv_0}{m\beta}\sin\left(\beta t\right)}, \hfill\\
{y(t) = \frac{qBv_0}{m\beta^2} \left(\cos \left(\beta t\right) -1\right)}.\hfill\\
\end{array}
\right.
\]
Заметим, что
$$\left(\frac{x(t)}{\frac{v_0}{\beta}}\right)^2 + \left( \frac{y(t)+\frac{qBv_0}{m\beta^2}}{\frac{qBv_0}{m\beta^2}} \right)^2 = 1.$$
То есть уравнение траектории при натянутой резинке представляет собой эллипс с центром в
$$\left(x_0, y_0\right) = \left( 0,- \frac{qBv_0}{m\beta^2} \right) = \left( 0,- \frac{qBmv_0}{km + (qB)^2} \right),$$ большой полуосью
$$a = \frac{v_0}{\beta} = \frac{mv_0}{\sqrt{km + (qB)^2}} = R\gamma,$$ малой полуосью
$$b = \frac{qBv_0}{m\beta^2} = \frac{qBmv_0}{km + (qB)^2} = R\gamma^2, $$ где $R = mv_0/qB$ и $\gamma=1\big/\sqrt{1 + \frac{mk}{(qB)^2}}<1$.
Однако при недеформированном шнуре (то есть когда координата $x$ будет меньше $0$) заряд будет двигаться по дуге окружности радиуса $R = (mv_0)/(qB)$.
Способ 2.
Из $m\ddot{y} = -qB\dot{x}$ получим:
$$dv_y=-\frac{qB}{m}dx=-\Omega dx.$$
С учетом того, что в начале движения $v_y=0$, $x=0$ и суммируя малые изменения этих величин, получаем, что
$$v_y=-\Omega x.$$
Сила Лоренца не совершает работы, и, согласно закону сохранения энергии:
$$\frac{m{v_0}^2}{2}=\frac{m({v_x}^2+{v_y}^2)}{2}+\frac{kx^2}{2}.$$
Откуда:
$${v_x}^2={v_0}^2-(\Omega^2+\frac{k}{m})x^2={v_0}^2-\beta^2x^2,$$ где $\beta^2=\Omega^2 + \frac{k}{m} $.
Выразим:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{v_y}{v_x}=\frac{\Omega x}{\sqrt{{v_0}^2-\beta^2x^2}}.$$
Откуда:
$$dy=-\frac{\Omega}{\beta}\frac{xdx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\gamma d(\sqrt{a^2-x^2}),$$ где $a=v_0/\beta=(mv_0) \big/\sqrt{km + \left(qB\right)^2}$ и $\gamma=\Omega/\beta=1\big/\sqrt{1 + \frac{mk}{(qB)^2}}<1.$
Суммируя малые изменения этих величин, получим:
$$y-0=\gamma(\sqrt{a^2-x^2}-a)$$
Откуда: $$\left(\frac{y+\gamma a}{\gamma a}\right)^2+\left(\frac{x}{a}\right)^2=1.$$
Нетрудно заметить, что это уравнение эллипса. Координаты центра эллипса $(0,-\gamma a)$, его большая полуось равна $a= (mv_0) \big/\sqrt{km + (qB)^2} = R\gamma$, а малая $b=\gamma a = (qBmv_0)\big/km + (qB)^2 = R\gamma^2$ .
Это уравнение описывает траекторию вплоть до возвращения длины резинки к исходной. Далее заряд попадает в область, где резинка провисает, и он движется по окружности радиуса $R=v_0/\Omega=mv_0/qB$ до возвращения длины резинки к исходной, после чего резинка натягивается и движение повторяется.
Способ 3.
Из второго уравнения системы $m\ddot{y} = -qB\dot{x}$ получим:
$$dv_y=-\frac{qB}{m}dx=-\Omega dx.$$
С учетом того, что в начале движения $v_y=0$, $x=0$ и суммируя малые изменения этих величин, получаем, что
$$v_y=-\Omega x.$$
Подставим это в первое уравнение системы:
$$m\ddot{x} = -kx - qB\Omega x.$$$$\ddot{x} = -\left(\frac{k}{m} + \Omega^2\right) x$$
Обозначим $\beta^2=\Omega^2 + \frac{k}{m} $.
$$x = C_1 \cos(\beta t)+C_2 \sin(\beta t)$$
Из начальных условий:
\[
\left\{ \hspace{-3pt}
\begin{array}{*{20}c}
{x(0) = 0 \Rightarrow C_1 = 0,} \hfill \\
{\dot{x}(0) = v_0 \Rightarrow C_2 = \frac{v_0}{\beta}.} \hfill \\
\end{array}
\right.
\]
$$x = \frac{v_0}{\beta}\sin(\beta t)$$
Подставим в выражение для $v_y$:
$$\dot y = -\Omega x = -\frac{\Omega v_0}{\beta}\sin(\beta t).$$
Интегрируя, получаем:
$$y = \frac{\Omega v_0}{\beta^2}\left(\cos(\beta t) - 1\right).$$
Заметим, что
$$\left(\frac{x(t)}{\frac{v_0}{\beta}}\right)^2 + \left( \frac{y(t)+\frac{qBv_0}{m\beta^2}}{\frac{qBv_0}{m\beta^2}} \right)^2 = 1.$$
То есть уравнение траектории при натянутой резинке представляет собой эллипс с центром в
$$\left(x_0, y_0\right) = \left( 0,- \frac{qBv_0}{m\beta^2} \right) = \left( 0,- \frac{qBmv_0}{km + (qB)^2} \right),$$большой полуосью
$$a = \frac{v_0}{\beta} = \frac{mv_0}{\sqrt{km + (qB)^2}} = R\gamma,$$малой полуосью
$$b = \frac{qBv_0}{m\beta^2} = \frac{qBmv_0}{km + (qB)^2} = R\gamma^2, $$где $R = mv_0/qB$ и $\gamma=1\big/\sqrt{1 + \frac{mk}{(qB)^2}}<1$.
Однако при недеформированном шнуре (то есть когда координата $x$ будет меньше $0$) заряд будет двигаться по окружности радиуса $R = mv_0/qB$.
Определим период движения заряда:
$$T = \frac{\pi}{\sqrt{\frac{k}{m} + \left(\frac{qB}{m}\right)^2}} + \frac{\pi}{\frac{qB}{m}}=\frac{\pi m}{qB} \left( \frac{qB}{\sqrt{km+\left(qB\right)^2}}+1 \right).$$
Тогда дрейфовая скорость
$$u = \frac{2\left(R-b\right)}{T} = \frac{2kmv_0}{ \pi \sqrt{km + \left(qB\right)^2} \left( qB + \sqrt{km + \left(qB\right)^2}\right)}.$$