Заметим, что по условию фотографирование происходит с большого расстояния, поэтому можно считать, что увеличение цилиндра в направлении его оси отсутствует. Дополнительно можно убедиться в этом, проверив, что точки пересечения линий миллиметровки и их изображений лежат примерно на оси цилиндра.
Теперь исследуем увеличение для параксиальных лучей в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. Пусть расстояние от оси цилиндра до плоскости равно $h$. Будем считать его положительным, если осталось больше половины цилиндра. Рассмотрим точку, смещённую от плоскости симметрии системы на малое расстояние $x$. Найдём положение её изображения, образованного параксиальными лучами.
Из закона преломления света получаем:
$$\gamma = n\beta = \frac{nx}{h+R}.$$
Запишем геометрические соотношения.
$$\frac{x(h+H)}{h}=\Gamma x = \frac{nx(h+H+R)}{h+R}.$$
Выразим и подставим значение $H$.
$$H = h(\Gamma - 1)$$$$\Gamma(h+R) = n\left(\Gamma h + R\right).$$
Получаем искомое увеличение:
$$\Gamma = \frac{nR}{R - (n-1)h}.$$
Заметим, что мы видим не всю миллиметровку, которую закрывает цилиндр. Такое может быть только в случае $h>0$, то есть отрезали меньше половины цилиндра. По фотографии видно, что область видимости ограничивают лучи, идущие по касательной к цилиндру.
Из закона преломления света имеем:
$$\cos\theta = \frac{1}{n},$$$$d = 2\left(R - h{\rm tg}\theta\right),$$$$\frac{d}{2R} = 1 - \frac{h\sqrt{n^2-1}}{R}.$$
Теперь достаточно измерить по фотографии $\Gamma$ и $d/R$. Тогда у нас будет система из двух уравнений с двумя неизвестными.
Проведём ось цилиндра, вертикальную линию миллиметровки и касательную к её изображению в точке на оси цилиндра. Отрезок $CA$ — перпендикуляр из точки касательной на ось цилиндра. Тогда увеличение можно найти по фотографии:
$$\Gamma = \frac{AC}{AB}\approx 2{,}0.$$
Для поиска области видимости можем воспользоваться подобием: для любой прямой можем определить, какую её часть видно через цилиндр. Воспользуемся горизонтальной линией на миллиметровке: закрыто цилиндром $22~мм$, видно через цилиндр $9~мм$.
$$\frac{d}{2R} \approx 0{,}41.$$
Для удобства введём обозначение $\xi = h/R$.
\[
\left\{ \hspace{-3pt}
\begin{array}{*{20}c}
{2 = \dfrac{n}{1-(n-1)\xi}} ;\hfill \\[8pt]
{0{,}41 = 1 - \xi\sqrt{n^2-1}}\,. \hfill \\
\end{array}
\right.
\]
$$\xi = \frac{0{,}59}{\sqrt{n^2-1}} = \frac{2-n}{2(n-1)}.$$
Получили уравнение на $n$, которое можно решить численно: $n = 1{,}48$.
Подставляя полученное значение в формулы для $\xi$, получаем:
$$\xi = 0{,}54.$$
При этом искомая величина выражается через $\xi$:
$$\frac{y}{R} = \frac{R-h}{R} = 1-\xi = 0{,}46.$$