В этой задаче некоторые физические величины выражаются комплексными числами. Например, зависимость компоненты напряженности электрического поля от пройденного расстояния \( z \) и времени \( t \) в комплексном виде представляется как \( \tilde{E}(t)=E e^{i(k z - \omega t + \varphi_{0})} \), где \( \omega \) и \( k \) — угловая частота и волновое число соответственно, \( \varphi_{0} \) — начальная фаза; \( \tilde{E} \) — комплексная амплитуда, а соответствующая ей реальная физическая величина — это ее модуль \( |\tilde{E}| \).
Схема интерферометра Маха-Цендера (MZ) показана на Рис. 3a. Падающий свет проходит через светоделитель (полупрозрачное зеркало, отражающее и пропускающее по $50\%$ падающей на него энергии), затем через два полностью отражающих зеркала, разделяясь на верхнее плечо (направленное к зеркалу M1) и нижнее плечо (направленное к M2). Из-за прохождения через второй идентичный светоделитель на экране возникает интерференция. Можно настроить оптические пути лучей так, чтобы интенсивность света, регистрируемая детектором ниже второго светоделителя, была равна нулю.
Для установки, показанной на рис. 3a, можно исследовать взаимосвязь между коэффициентами пропускания и отражения светоделителя. Здесь светоделитель является 50/50 полупрозрачным зеркалом (для всех поляризаций), то есть модули коэффициента отражения \( \tilde{r} \) и коэффициента пропускания \( \tilde{t} \) удовлетворяют условию:
\[
r=|\tilde{r}|=t=|\tilde{t}|=\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Как отражение, так и пропускание вносят разность фаз, то есть
\[
\tilde{r}=r e^{i \delta_{r}}, \quad \tilde{t}=t e^{i \delta_{t}}, \quad \frac{\tilde{t}}{\tilde{r}}=e^{i(\delta_{t}-\delta_{r})}=e^{i \varphi}
\]
На рис. 3b дано определение положительных направлений P и S-поляризации света: на рис. 3b(a) \( \vec{k} \) — ориентирован на направление распространения света, $\vec P–\vec S–\vec{k}$ образуют правую тройку. Направление $\vec P$ также называется горизонтальным, а направление $\vec S$ – вертикальным. На Рис. 3b(b) показаны направления $\vec P$, $\vec S$, $\vec k$ для падающего, отраженного и прошедшего света на светоделителе. В качестве примера для отраженного луча, $\vec P_r$, $\vec S_r$, $\vec k_r$ обозначают направление распространения отраженного света и положительные направления P и S-поляризаций в отраженном луче соответственно.
После светоделителя P и S-компоненты отраженного света могут быть выражены через P и S-компоненты падающего света:
\[
\tilde{E}_{r \mathrm{P}}=\tilde{a} \tilde{E}_{i \mathrm{P}}+\tilde{b} \tilde{E}_{i S}, \quad \tilde{E}_{r S}=\tilde{c} \tilde{E}_{i \mathrm{P}}+\tilde{d} \tilde{E}_{i S}
\]
Они могут быть представлены матрицей:
\[
\binom{\tilde{E}_{r \mathrm{P}}}{\tilde{E}_{r \mathrm{S}}}=\left(\begin{array}{cc}
\tilde{a} & \tilde{b} \\
\tilde{c} & \tilde{d}
\end{array}\right)\binom{\tilde{E}_{i \mathrm{P}}}{\tilde{E}_{i \mathrm{S}}}
\]
Упомянутая выше матрица \( 2 \times 2 \) называется матрицей отражения светоделителя, и так далее. Известно, что коэффициенты отражения светоделителя для P и S компонент равны соответственно \( \tilde{r}_{\mathrm{P}}=r_{\mathrm{P}} e^{i \delta_{\mathrm{rP}}} \) и \( \tilde{r}_{\mathrm{S}}=r_{\mathrm{S}} e^{i \delta_{r S}} \).
Для четвертьволновой пластинки, свет с поляризацией вдоль её быстрой оси после прохождения пластинки будет иметь фазу, опережающую на \( \dfrac{\pi}{2} \) свет, поляризованный вдоль медленной оси. На рис. 3c(b) показана пластинка с быстрой осью, ориентированной под углом $-45^{\circ}$; вектор $\vec k$ перпендикулярен этой пластинке.
Схемы линейных поляризаторов с направлениями пропускания по горизонтали (H), вертикали (V) и под углом \(+45^{\circ}\) показаны на рис. 3c(c).
Интерферометр — это прибор, измеряющий изменения фазы через изменения интенсивности света. Обычные интерферометры (такие как интерферометр Майкельсона) измеряют только интенсивность света и по ней могут определить величину фазы \(\Delta \varphi\), но не могут определить её знак. Для определения знака \(\Delta \varphi\) необходимо дополнительно наблюдать за смещением или исчезновением интерференционных полос. Это неудобно в некоторых ситуациях. На рис. 3d приведена схема четырёхканального интерферометра, который может получить определённое значение \(\Delta \varphi\) \((-\pi < \Delta \varphi \leq \pi)\), измеряя только интенсивности интерференционного света в детекторах A и B.
Лазерный луч проходит через линейный поляризатор (V) с вертикальным направлением пропускания (перпендикулярным плоскости чертежа), отражается от полностью отражающего зеркала 1 и попадает на светоделитель 1, где разделяется на оптический путь 1 и оптический путь 2. Свет оптического пути 1 отражается от полностью отражающего зеркала 5, затем проходит через четвертьволновую пластинку с быстрой осью вдоль \(-45^{\circ}\), попадает в светоделитель 2, где снова разделяется на два луча. Эти лучи проходят через линейный поляризатор (V) к детектору A и через линейный поляризатор (H) к детектору B соответственно. Свет оптического пути 2 отражается от полностью отражающих зеркал 2, 3 и 4, проходит через линейный поляризатор с направлением пропускания вдоль \(+45^{\circ}\), затем делится светоделителем 2 на два луча, которые направляются к детекторам A и B соответственно.
Известно, что амплитуда лазерного луча перед светоделителем 1 равна \(E_{0}\). Пусть \(l_{1}\), \(l_{2}\) обозначают длины оптических путей от светоделителя 1 до светоделителя 2 вдоль оптического пути 1 и 2 соответственно, а \(k\) – волновое число лазерного излучения в вакууме.
6 Запишите интерференционные члены в интенсивностях на детекторе A и детекторе B: \(I_{\mathrm{A}}^{\text{интерф.}}\), \(I_{\mathrm{B}}^{\text{интерф.}}\) (Интерференционный член — это вклад в интенсивность, обусловленный интерференцией, то есть интенсивность при одновременном наличии обоих лучей минус сумма интенсивностей каждого луча в отдельности). Далее, обозначьте общую фазу в вычисленном результате для \(I_{\mathrm{A}}^{\text{интерф.}}\) как \(\Delta \varphi\), и затем выразите \(I_{\mathrm{A}}^{\text{интерф.}}\), \(I_{\mathrm{B}}^{\text{интерф.}}\) через \(\Delta \varphi\).
Потери энергии при распространении света не учитывайте.