Оборудование

• торсионный маятник, состоящий из внешнего корпуса (неоднородного в продольном направлении) и внутреннего стержня с резьбой, закрепленных на стойке, как показано на рис. 1
• длинная гайка (нужна только для последнего задания)
• линейка
• угольник
• секундомер
• струбцина
• миллиметровка для построения графиков

Введение

Торсионный маятник описывается следующими переменными:

• положение маятника, определяемое углом $\theta$ отклонения от направления, перпендикулярного плоскости рамы стенда, которая на рисунке 1 показана горизонтальной;
• расстояние $x$ между свободным концом внутреннего резьбового стержня и осью вращения маятника;
• период T колебаний маятника.

Параметры, описывающие систему:

• коэффициент упругости $k$ проволоки ($M = k\Delta \theta)$, где $M$ - момент сил упругости, $\Delta \theta$ - угол поворота маятника относительно недеформированного состояния проволоки; 
• массы $M_1$ и $M_2$ частей маятника (1 - внешняя часть и 2 - стержень с резьбой);
• длина $l$ внутреней части маятника (резьбового стержня);
• расстояния $R_1$ и $R_2$ от центров масс соответствующих частей маятника до оси вращения. В этом случае внутренняя подвижная часть (резьбовой стержень) достаточно однородна для расчета $R_2$ исходя из ее массы, длины $l$ и расстояния $x$. Таким образом, $R_2$ является простой функцией других параметров;
• моменты инерции $I_1$ и $I_2$ двух частей маятника (1 -  внешняя часть и 2 - стержень с резьбой). В этом случае мы также предполагаем, что подвижная часть (стержень с резьбой) достаточно однородна для вычисления $I_2$ на основе ее массы, длины $l$ и расстояния $x$. Таким образом, $I_2$ также является простой функцией других параметров;
• начальный угол отклонения маятника $\theta_0$ (измеряется между маятником и перпендикуляром к плоскости рамы штатива), при котором момент сил упругости равен нулю. Маятник фиксируется на оси вращения с помощью винта, противоположного резьбовому стержню.
  
  ВАЖНО!!! При больших углах поворота маятника могут происходить пластичные деформации проволоки и угол $\theta_0$ может изменяться.

Подводя итог, можно сказать, что система описывается 7 параметрами: $k$, $M_1$, $M_2$, $R_1$, $I_1$, $l$, $\theta_0$, но $\theta_0$ может изменяться, так что только 6 из них являются реально постоянными и целью эксперимента является их определение. А именно, определение $k$, $M_1$, $M_2$, $R_1$, $I_1$, $l$ \textbf{экспериментальным путем}. Обратите внимание, что внутренний стержень с резьбой \textbf{запрещено} полностью извлекать из корпуса маятника, а изначально дана только общая масса $M_1+M_2=78,2 \pm 0,1~\text{г}$.

В этом эксперименте несколько величин являются линейными функциями одной переменной, и вы должны оценить параметры этих линейных функций. Можно использовать линейное приближение, но допустимы и альтернативные подходы. Экспериментальные погрешности параметров можно оценить из процедуры линеаризации или по разбросу экспериментальных данных.

Часть A

A1  ^0.50 Значение общей массы $M_1+M_2$ задано. Вы можете найти $M_1$ и $M_2$, измерив расстояние $R(x)$ между осью вращения и центром масс маятника. Для этого сначала теоретически выразите $R(x)$ в зависимости от $x$ и параметров $M_1$, $M_2$, $R_1$, $l$.

A2  ^3.00 Теперь измерьте $R(x)$ для нескольких значений $x$ (не менее 3). Ясно, что такие измерения необходимо проводить, когда маятник не прикреплен к проволоке. Используйте измерения и предыдущий результат, чтобы найти $M_1$ и $M_2$.

Часть B

B1  ^0.50 Выведите выражение полного момента инерции $I$ как функции от $x$ и от параметров $M_2$, $I_1$ и $l$.

B2  ^1.00 Выведите уравнение движения маятника в случаях горизонтальной и вертикальной осей вращения в зависимости от угла $\theta$ между маятником и перпендикуляром к плоскости рамки и от $x$, $k$, $\theta_0$, $M_1$, $M_2$, полного момента инерции $I$ и положения $R(x)$ центра масс.

B3  ^4.00 Для определения $k$, соберите маятник и расположите ось вращения горизонтально. Резьбовой стержень изначально должен находиться как можно глубже внутри маятника. Позовите преподавателя, который поможет вам закрепить маятник так, чтобы угол $\theta_0 \approx \pi/6$. Измерьте угол равновесия $\theta_{\text{e}}$ для нескольких значений $x$ (не менее 5).

B4  ^4.50 Используя полученные измерения, определите $k$.

B5  ^4.00 Теперь расположите маятник так, чтобы ось вращения была вертикальна и измерьте период колебаний для нескольких значений $x$ (не менее 5). С помощью этих измерений определите $I_1$ и $l$.

Часть C

После определения параметров системы позовите педагога и с его помощью соберите экспериментальную установку следующим образом: 

• ось вращения горизонтальна;
• резьбовой стержень как можно глубже внутри маятника;
• в состоянии равновесия маятник как можно ближе к вертикали;
• на конец стержня прикручена гайка с болтом.

В такой конфигурации маятник может иметь два положения равновесия. Количество положений равновесия зависит от положения резьбового стержня. Это можно понять, посмотрев график зависимости потенциальной энергии системы от угла $\theta$ (рис. 2). Потенциальная энергия системы пропорциональна функции $U(\theta)=\frac{a}{2} (\theta - \theta_0)^2 + \cos{\theta}$. Различные кривые соответствуют различным значениям параметра $a$, как подписано на рисунке 2.

Удвоение минимума потенциальной энергии на рисунке 2 при меньших значения $a$ $(a < 1)$ иллюстрирует явление, известное в математике как бифуркация. Оно также связано с различными видами нарушения симметрии, которые изучаются в физике элементарных частиц и статистической механике. В нашем случае параметр $a$ связан с положением $x$ резьбового стержня.

Теперь мы можем изучить бифуркацию, измеряя период малых колебаний в окрестности положения равновесия.

C1  ^2.50 Снимите зависимость периода малых колебаний $T$ как функции от $x$. Нарисуйте график этой зависимости . Какова вида эта функция? Это возрастающая, убывающая или более сложная функция?

Вы можете наблюдать два положения равновесия, но одно из них будет стабильнее другого (см. рис. 2). Изучайте и нарисуйте график для более стабильного положения равновесия.